Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemdvbinom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemdvbinom 38869
Description: Lemma for binomcxp 38873. By the power and chain rules, calculate the derivative of ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶), with respect to 𝑏 in the disk of convergence 𝐷. We later multiply the derivative in the later binomcxplemdvsum 38871 by this derivative to show that ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶) (with a non-negated 𝐶) and the later sum, since both at 𝑏 = 0 equal one, are the same. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
binomcxplem.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
binomcxplem.d 𝐷 = (abs “ (0[,)𝑅))
Assertion
Ref Expression
binomcxplemdvbinom ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝜑   𝑘,𝑏,𝐶   𝐶,𝑗   𝐹,𝑏,𝑘   𝑆,𝑟   𝑟,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑏)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐶(𝑟)   𝐷(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑏)   𝐸(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑟)

Proof of Theorem binomcxplemdvbinom
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.d . . . . 5 𝐷 = (abs “ (0[,)𝑅))
2 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑏abs
3 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑏0
4 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑏[,)
5 binomcxplem.r . . . . . . . 8 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
6 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑏 +
7 binomcxplem.s . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
8 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
97, 8nfcxfr 2791 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏𝑆
10 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏𝑟
119, 10nffv 6236 . . . . . . . . . . . 12 𝑏(𝑆𝑟)
123, 6, 11nfseq 12851 . . . . . . . . . . 11 𝑏seq0( + , (𝑆𝑟))
1312nfel1 2808 . . . . . . . . . 10 𝑏seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝
14 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑏
1513, 14nfrab 3153 . . . . . . . . 9 𝑏{𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }
16 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑏*
17 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑏 <
1815, 16, 17nfsup 8398 . . . . . . . 8 𝑏sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
195, 18nfcxfr 2791 . . . . . . 7 𝑏𝑅
203, 4, 19nfov 6716 . . . . . 6 𝑏(0[,)𝑅)
212, 20nfima 5509 . . . . 5 𝑏(abs “ (0[,)𝑅))
221, 21nfcxfr 2791 . . . 4 𝑏𝐷
23 nfcv 2793 . . . 4 𝑦𝐷
24 nfcv 2793 . . . 4 𝑦((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)
25 nfcv 2793 . . . 4 𝑏((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶)
26 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑏 = 𝑦 → (1 + 𝑏) = (1 + 𝑦))
2726oveq1d 6705 . . . 4 (𝑏 = 𝑦 → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) = ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))
2822, 23, 24, 25, 27cbvmptf 4781 . . 3 (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑦𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))
2928oveq2i 6701 . 2 (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (ℂ D (𝑦𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶)))
30 cnelprrecn 10067 . . . . 5 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
3130a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
32 1cnd 10094 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → 1 ∈ ℂ)
33 cnvimass 5520 . . . . . . . . . 10 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
341, 33eqsstri 3668 . . . . . . . . 9 𝐷 ⊆ dom abs
35 absf 14121 . . . . . . . . . 10 abs:ℂ⟶ℝ
3635fdmi 6090 . . . . . . . . 9 dom abs = ℂ
3734, 36sseqtri 3670 . . . . . . . 8 𝐷 ⊆ ℂ
3837a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐷 ⊆ ℂ)
3938sselda 3636 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ ℂ)
4032, 39addcld 10097 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → (1 + 𝑦) ∈ ℂ)
41 simpr 476 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ)
42 1cnd 10094 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
4339adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
4442, 43pncan2d 10432 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → ((1 + 𝑦) − 1) = 𝑦)
45 1red 10093 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
4641, 45resubcld 10496 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → ((1 + 𝑦) − 1) ∈ ℝ)
4744, 46eqeltrrd 2731 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
48 1pneg1e0 11167 . . . . . . . . 9 (1 + -1) = 0
49 1red 10093 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
5049renegcld 10495 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
51 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
52 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
53 elpreima 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (abs Fn ℂ → (𝑦 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅))))
5435, 52, 53mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅)))
5554simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) → (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅))
5655, 1eleq2s 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝐷 → (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅))
57 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
58 ssrab2 3720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
59 ressxr 10121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℝ ⊆ ℝ*
6058, 59sstri 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
61 supxrcl 12183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
635, 62eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑅 ∈ ℝ*
64 elico2 12275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) < 𝑅)))
6557, 63, 64mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) < 𝑅))
6656, 65sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐷 → ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) < 𝑅))
6766simp3d 1095 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝐷 → (abs‘𝑦) < 𝑅)
6867adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → (abs‘𝑦) < 𝑅)
69 binomcxp.a . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
70 binomcxp.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
71 binomcxp.lt . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
72 binomcxp.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
73 binomcxplem.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
7469, 70, 71, 72, 73, 7, 5binomcxplemradcnv 38868 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)
7574adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑅 = 1)
7668, 75breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → (abs‘𝑦) < 1)
7776adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘𝑦) < 1)
7851, 49absltd 14212 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑦) < 1 ↔ (-1 < 𝑦𝑦 < 1)))
7977, 78mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-1 < 𝑦𝑦 < 1))
8079simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -1 < 𝑦)
8150, 51, 49, 80ltadd2dd 10234 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 + -1) < (1 + 𝑦))
8248, 81syl5eqbrr 4721 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 < (1 + 𝑦))
8347, 82syldan 486 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 0 < (1 + 𝑦))
8441, 83elrpd 11907 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)
8584ex 449 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → ((1 + 𝑦) ∈ ℝ → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+))
86 eqid 2651 . . . . . 6 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
8786ellogdm 24430 . . . . 5 ((1 + 𝑦) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((1 + 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((1 + 𝑦) ∈ ℝ → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)))
8840, 85, 87sylanbrc 699 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → (1 + 𝑦) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
89 eldifi 3765 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
9089adantl 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → 𝑥 ∈ ℂ)
9172adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
9291negcld 10417 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → -𝐶 ∈ ℂ)
9392adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → -𝐶 ∈ ℂ)
9490, 93cxpcld 24499 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (𝑥𝑐-𝐶) ∈ ℂ)
95 ovexd 6720 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (-𝐶 · (𝑥𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ V)
96 1cnd 10094 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
97 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
9896, 97addcld 10097 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + 𝑥) ∈ ℂ)
99 c0ex 10072 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
10099a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ V)
101 1cnd 10094 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
10231, 101dvmptc 23766 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
10331dvmptid 23765 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
10431, 96, 100, 102, 97, 96, 103dvmptadd 23768 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + 1)))
105 0p1e1 11170 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
106105mpteq2i 4774 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
107104, 106syl6eq 2701 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
108 fvex 6239 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ V
109 cnfldtps 22628 . . . . . . . . . 10 fld ∈ TopSp
110 cnfldbas 19798 . . . . . . . . . . 11 ℂ = (Base‘ℂfld)
111 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
112110, 111tpsuni 20788 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ TopSp → ℂ = (TopOpen‘ℂfld))
113109, 112ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
114113restid 16141 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ V → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
115108, 114ax-mp 5 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
116115eqcomi 2660 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
117111cnfldtop 22634 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
118 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
119118cnbl0 22624 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
12063, 119ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
1211, 120eqtri 2673 . . . . . . . . 9 𝐷 = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
122 cnxmet 22623 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
123 0cn 10070 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
124111cnfldtopn 22632 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
125124blopn 22352 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
126122, 123, 63, 125mp3an 1464 . . . . . . . . 9 (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
127121, 126eqeltri 2726 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
128 isopn3i 20934 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷)
129117, 127, 128mp2an 708 . . . . . . 7 ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷
130129a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷)
13131, 98, 96, 107, 38, 116, 111, 130dvmptres2 23770 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (1 + 𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ 1))
132 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (1 + 𝑥) = (1 + 𝑦))
133132cbvmptv 4783 . . . . . 6 (𝑥𝐷 ↦ (1 + 𝑥)) = (𝑦𝐷 ↦ (1 + 𝑦))
134133oveq2i 6701 . . . . 5 (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (1 + 𝑥))) = (ℂ D (𝑦𝐷 ↦ (1 + 𝑦)))
135 eqidd 2652 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → 1 = 1)
136135cbvmptv 4783 . . . . 5 (𝑥𝐷 ↦ 1) = (𝑦𝐷 ↦ 1)
137131, 134, 1363eqtr3g 2708 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦𝐷 ↦ (1 + 𝑦))) = (𝑦𝐷 ↦ 1))
13886dvcncxp1 24529 . . . . 5 (-𝐶 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥𝑐-𝐶))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (-𝐶 · (𝑥𝑐(-𝐶 − 1)))))
13992, 138syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥𝑐-𝐶))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (-𝐶 · (𝑥𝑐(-𝐶 − 1)))))
140 oveq1 6697 . . . 4 (𝑥 = (1 + 𝑦) → (𝑥𝑐-𝐶) = ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))
141 oveq1 6697 . . . . 5 (𝑥 = (1 + 𝑦) → (𝑥𝑐(-𝐶 − 1)) = ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
142141oveq2d 6706 . . . 4 (𝑥 = (1 + 𝑦) → (-𝐶 · (𝑥𝑐(-𝐶 − 1))) = (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
14331, 31, 88, 32, 94, 95, 137, 139, 140, 142dvmptco 23780 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))) = (𝑦𝐷 ↦ ((-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · 1)))
14491adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
145144negcld 10417 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ)
146145, 32subcld 10430 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → (-𝐶 − 1) ∈ ℂ)
14740, 146cxpcld 24499 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)) ∈ ℂ)
148145, 147mulcld 10098 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ ℂ)
149148mulid1d 10095 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · 1) = (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
150149mpteq2dva 4777 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐷 ↦ ((-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · 1)) = (𝑦𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
151 nfcv 2793 . . . . 5 𝑏(-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
152 nfcv 2793 . . . . 5 𝑦(-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
153 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑏 → (1 + 𝑦) = (1 + 𝑏))
154153oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑏 → ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
155154oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑦 = 𝑏 → (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) = (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
15623, 22, 151, 152, 155cbvmptf 4781 . . . 4 (𝑦𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
157156a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
158143, 150, 1573eqtrd 2689 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
15929, 158syl5eq 2697 1 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  {cpr 4212   cuni 4468   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ccnv 5142  dom cdm 5143  cima 5146  ccom 5147   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  supcsup 8387  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  -∞cmnf 10110  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305  cn 11058  0cn0 11330  +crp 11870  (,]cioc 12214  [,)cico 12215  seqcseq 12841  cexp 12900  abscabs 14018  cli 14259  t crest 16128  TopOpenctopn 16129  ∞Metcxmt 19779  ballcbl 19781  fldccnfld 19794  Topctop 20746  TopSpctps 20784  intcnt 20869   D cdv 23672  𝑐ccxp 24347  C𝑐cbcc 38852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-prod 14680  df-fallfac 14782  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-tan 14846  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349  df-bcc 38853
This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  38872
  Copyright terms: Public domain W3C validator