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Theorem binomcxplemnn0 38027
Description: Lemma for binomcxp 38035. When 𝐶 is a nonnegative integer, the binomial's finite sum value by the standard binomial theorem binom 14487 equals this generalized infinite sum: the generalized binomial coefficient and exponentiation operators give exactly the same values in the standard index set (0...𝐶), and when the index set is widened beyond 𝐶 the additional values are just zeroes. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
binomcxplemnn0 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘

Proof of Theorem binomcxplemnn0
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxp.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
21rpcnd 11818 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 binomcxp.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43recnd 10012 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5 binom 14487 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
653expia 1264 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
72, 4, 6syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
87imp 445 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
92adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
104adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
119, 10addcld 10003 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
12 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
13 cxpexp 24314 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶))
1411, 12, 13syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶))
15 elfznn0 12374 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝐶) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16 simplr 791 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
17 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1816, 17bccbc 38023 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑘))
1915, 18sylan2 491 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑘))
202ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
21 elfzle2 12287 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...𝐶) → 𝑘𝐶)
2221adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → 𝑘𝐶)
23 nn0sub 11287 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘𝐶 ↔ (𝐶𝑘) ∈ ℕ0))
2423ancoms 469 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘𝐶 ↔ (𝐶𝑘) ∈ ℕ0))
2524adantll 749 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘𝐶 ↔ (𝐶𝑘) ∈ ℕ0))
2615, 25sylan2 491 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝑘𝐶 ↔ (𝐶𝑘) ∈ ℕ0))
2722, 26mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐶𝑘) ∈ ℕ0)
28 cxpexp 24314 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐(𝐶𝑘)) = (𝐴↑(𝐶𝑘)))
2920, 27, 28syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐴𝑐(𝐶𝑘)) = (𝐴↑(𝐶𝑘)))
3029oveq1d 6619 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)) = ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))
3119, 30oveq12d 6622 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = ((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
3231sumeq2dv 14367 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
338, 14, 323eqtr4d 2665 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
34 binomcxp.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3534adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
3611, 35cxpcld 24354 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
3733, 36eqeltrrd 2699 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
3837addid1d 10180 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
39 nn0uz 11666 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
40 eqid 2621 . . . 4 (ℤ‘(𝐶 + 1)) = (ℤ‘(𝐶 + 1))
41 1nn0 11252 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
4241a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
4312, 42nn0addcld 11299 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
44 eqidd 2622 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗)))) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗)))))
45 simpr 477 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
4645oveq2d 6620 . . . . . 6 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
4745oveq2d 6620 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶𝑗) = (𝐶𝑘))
4847oveq2d 6620 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐴𝑐(𝐶𝑗)) = (𝐴𝑐(𝐶𝑘)))
4945oveq2d 6620 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑘))
5048, 49oveq12d 6622 . . . . . 6 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗)) = ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))
5146, 50oveq12d 6622 . . . . 5 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
5234ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
5352, 17bcccl 38017 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
542ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5517nn0cnd 11297 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
5652, 55subcld 10336 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
5754, 56cxpcld 24354 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐(𝐶𝑘)) ∈ ℂ)
584ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
5958, 17expcld 12948 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
6057, 59mulcld 10004 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
6153, 60mulcld 10004 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
6244, 51, 17, 61fvmptd 6245 . . . 4 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
63 peano2nn0 11277 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
6463adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
65 c0ex 9978 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
6665fconst 6048 . . . . . . . 8 (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶{0}
6766a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶{0})
68 0red 9985 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
6968snssd 4309 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → {0} ⊆ ℝ)
7067, 69fssd 6014 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶ℝ)
7170ffvelrnda 6315 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℝ)
7262, 61eqeltrd 2698 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘) ∈ ℂ)
73 climrel 14157 . . . . . . 7 Rel ⇝
7439xpeq1i 5095 . . . . . . . . 9 (ℕ0 × {0}) = ((ℤ‘0) × {0})
75 seqeq3 12746 . . . . . . . . 9 ((ℕ0 × {0}) = ((ℤ‘0) × {0}) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) = seq0( + , ((ℤ‘0) × {0})))
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq0( + , (ℕ0 × {0})) = seq0( + , ((ℤ‘0) × {0}))
77 0z 11332 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
78 serclim0 14242 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → seq0( + , ((ℤ‘0) × {0})) ⇝ 0)
7977, 78ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq0( + , ((ℤ‘0) × {0})) ⇝ 0
8076, 79eqbrtri 4634 . . . . . . 7 seq0( + , (ℕ0 × {0})) ⇝ 0
81 releldm 5318 . . . . . . 7 ((Rel ⇝ ∧ seq0( + , (ℕ0 × {0})) ⇝ 0) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝ )
8273, 80, 81mp2an 707 . . . . . 6 seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝
8382a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝ )
84 eluznn0 11701 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8564, 84sylan 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8685, 62syldan 487 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
87 0zd 11333 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 0 ∈ ℤ)
8885nn0zd 11424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
89 1zzd 11352 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 1 ∈ ℤ)
9088, 89zsubcld 11431 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
9112nn0zd 11424 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℤ)
9291adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℤ)
9312nn0ge0d 11298 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐶)
9493adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 0 ≤ 𝐶)
95 eluzle 11644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1)) → (𝐶 + 1) ≤ 𝑘)
9695adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (𝐶 + 1) ≤ 𝑘)
9792zred 11426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
98 1red 9999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
9985nn0red 11296 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
100 leaddsub 10448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 1) ≤ 𝑘𝐶 ≤ (𝑘 − 1)))
10197, 98, 99, 100syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶 + 1) ≤ 𝑘𝐶 ≤ (𝑘 − 1)))
10296, 101mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ≤ (𝑘 − 1))
103 elfz4 12277 . . . . . . . . . . . . . 14 (((0 ∈ ℤ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐶𝐶 ≤ (𝑘 − 1))) → 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)))
10487, 90, 92, 94, 102, 103syl32anc 1331 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)))
10534ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
106105, 85bcc0 38018 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1))))
107104, 106mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (𝐶C𝑐𝑘) = 0)
108107oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (0 · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
1092ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
110 eluzelcn 11643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
111110adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
112105, 111subcld 10336 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
113109, 112cxpcld 24354 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (𝐴𝑐(𝐶𝑘)) ∈ ℂ)
1144ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
115114, 85expcld 12948 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
116113, 115mulcld 10004 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
117116mul02d 10178 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (0 · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
118108, 117eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
11986, 118eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘) = 0)
120119abs00bd 13965 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) = 0)
121 0re 9984 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
122120, 121syl6eqel 2706 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) ∈ ℝ)
123 eqle 10083 . . . . . . 7 (((abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) = 0) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) ≤ 0)
124122, 120, 123syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) ≤ 0)
12571recnd 10012 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
12685, 125syldan 487 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
127126mul02d 10178 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (0 · ((ℕ0 × {0})‘𝑘)) = 0)
128124, 127breqtrrd 4641 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) ≤ (0 · ((ℕ0 × {0})‘𝑘)))
12939, 64, 71, 72, 83, 68, 128cvgcmpce 14477 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))) ∈ dom ⇝ )
13039, 40, 43, 62, 61, 129isumsplit 14497 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
131 1cnd 10000 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
13235, 131pncand 10337 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) − 1) = 𝐶)
133132oveq2d 6620 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (0...((𝐶 + 1) − 1)) = (0...𝐶))
134133sumeq1d 14365 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
135134oveq1d 6619 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
136118sumeq2dv 14367 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))0)
137 ssid 3603 . . . . . . 7 (ℤ‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ‘(𝐶 + 1))
138137orci 405 . . . . . 6 ((ℤ‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ‘(𝐶 + 1)) ∨ (ℤ‘(𝐶 + 1)) ∈ Fin)
139 sumz 14386 . . . . . 6 (((ℤ‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ‘(𝐶 + 1)) ∨ (ℤ‘(𝐶 + 1)) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))0 = 0)
140138, 139ax-mp 5 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))0 = 0
141136, 140syl6eq 2671 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
142141oveq2d 6620 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + 0))
143130, 135, 1423eqtrd 2659 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + 0))
14438, 143, 333eqtr4rd 2666 1 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3555  {csn 4148   class class class wbr 4613  cmpt 4673   × cxp 5072  dom cdm 5074  Rel wrel 5079  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  0cn0 11236  cz 11321  cuz 11631  +crp 11776  ...cfz 12268  seqcseq 12741  cexp 12800  Ccbc 13029  abscabs 13908  cli 14149  Σcsu 14350  𝑐ccxp 24206  C𝑐cbcc 38014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-prod 14561  df-fallfac 14663  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537  df-log 24207  df-cxp 24208  df-bcc 38015
This theorem is referenced by:  binomcxp  38035
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