Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binomfallfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomfallfac 14708
 Description: A version of the binomial theorem using falling factorials instead of exponentials. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
binomfallfac ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem binomfallfac
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6618 . . . . . 6 (𝑚 = 0 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = ((𝐴 + 𝐵) FallFac 0))
2 oveq2 6618 . . . . . . . 8 (𝑚 = 0 → (0...𝑚) = (0...0))
3 0z 11340 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
4 fzsn 12333 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0...0) = {0}
62, 5syl6eq 2671 . . . . . . 7 (𝑚 = 0 → (0...𝑚) = {0})
7 oveq1 6617 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 0 → (𝑚C𝑘) = (0C𝑘))
8 oveq1 6617 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 0 → (𝑚𝑘) = (0 − 𝑘))
98oveq2d 6626 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 0 → (𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) = (𝐴 FallFac (0 − 𝑘)))
109oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 0 → ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
117, 10oveq12d 6628 . . . . . . . 8 (𝑚 = 0 → ((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
1211adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑚 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑚)) → ((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
136, 12sumeq12dv 14378 . . . . . 6 (𝑚 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ {0} ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
141, 13eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑚 = 0 → (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ↔ ((𝐴 + 𝐵) FallFac 0) = Σ𝑘 ∈ {0} ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
1514imbi2d 330 . . . 4 (𝑚 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 0) = Σ𝑘 ∈ {0} ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))))
16 oveq2 6618 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑛))
17 oveq2 6618 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (0...𝑚) = (0...𝑛))
18 oveq1 6617 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚C𝑘) = (𝑛C𝑘))
19 oveq1 6617 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚𝑘) = (𝑛𝑘))
2019oveq2d 6626 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) = (𝐴 FallFac (𝑛𝑘)))
2120oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
2218, 21oveq12d 6628 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
2322adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑚 = 𝑛𝑘 ∈ (0...𝑚)) → ((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
2417, 23sumeq12dv 14378 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
2516, 24eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ↔ ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑛) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
2625imbi2d 330 . . . 4 (𝑚 = 𝑛 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑛) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))))
27 oveq2 6618 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑛 + 1)))
28 oveq2 6618 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (0...𝑚) = (0...(𝑛 + 1)))
29 oveq1 6617 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚C𝑘) = ((𝑛 + 1)C𝑘))
30 oveq1 6617 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚𝑘) = ((𝑛 + 1) − 𝑘))
3130oveq2d 6626 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) = (𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)))
3231oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
3329, 32oveq12d 6628 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (((𝑛 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
3433adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑚 = (𝑛 + 1) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑚)) → ((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (((𝑛 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
3528, 34sumeq12dv 14378 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑛 + 1) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))(((𝑛 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
3627, 35eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ↔ ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑛 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))(((𝑛 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
3736imbi2d 330 . . . 4 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑛 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))(((𝑛 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))))
38 oveq2 6618 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁))
39 oveq2 6618 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑁 → (0...𝑚) = (0...𝑁))
40 oveq1 6617 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚C𝑘) = (𝑁C𝑘))
41 oveq1 6617 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚𝑘) = (𝑁𝑘))
4241oveq2d 6626 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑁 → (𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) = (𝐴 FallFac (𝑁𝑘)))
4342oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
4440, 43oveq12d 6628 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
4544adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑚 = 𝑁𝑘 ∈ (0...𝑚)) → ((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
4639, 45sumeq12dv 14378 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
4738, 46eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ↔ ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
4847imbi2d 330 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))))
49 fallfac0 14695 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 FallFac 0) = 1)
50 fallfac0 14695 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 FallFac 0) = 1)
5149, 50oveqan12d 6629 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0)) = (1 · 1))
52 1t1e1 11127 . . . . . . . 8 (1 · 1) = 1
5351, 52syl6eq 2671 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0)) = 1)
5453oveq2d 6626 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0))) = (1 · 1))
5554, 52syl6eq 2671 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0))) = 1)
56 0cn 9984 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
57 ax-1cn 9946 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
5855, 57syl6eqel 2706 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0))) ∈ ℂ)
59 oveq2 6618 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = (0C0))
60 0nn0 11259 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
61 bcnn 13047 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℕ0 → (0C0) = 1)
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0C0) = 1
6359, 62syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = 1)
64 oveq2 6618 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = (0 − 0))
65 0m0e0 11082 . . . . . . . . . . 11 (0 − 0) = 0
6664, 65syl6eq 2671 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = 0)
6766oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) = (𝐴 FallFac 0))
68 oveq2 6618 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝐵 FallFac 𝑘) = (𝐵 FallFac 0))
6967, 68oveq12d 6628 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0)))
7063, 69oveq12d 6628 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (1 · ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0))))
7170sumsn 14416 . . . . . 6 ((0 ∈ ℂ ∧ (1 · ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0))) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (1 · ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0))))
7256, 58, 71sylancr 694 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (1 · ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0))))
73 addcl 9970 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
74 fallfac0 14695 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 0) = 1)
7573, 74syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 0) = 1)
7655, 72, 753eqtr4rd 2666 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 0) = Σ𝑘 ∈ {0} ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
77 simprl 793 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
78 simprr 795 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
79 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
80 id 22 . . . . . . 7 (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑛) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑛) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
8177, 78, 79, 80binomfallfaclem2 14707 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑛) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑛 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))(((𝑛 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
8281exp31 629 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑛) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑛 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))(((𝑛 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))))
8382a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑛) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑛 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))(((𝑛 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))))
8415, 26, 37, 48, 76, 83nn0ind 11424 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
8584com12 32 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
86853impia 1258 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {csn 4153  (class class class)co 6610  ℂcc 9886  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893   − cmin 10218  ℕ0cn0 11244  ℤcz 11329  ...cfz 12276  Ccbc 13037  Σcsu 14358   FallFac cfallfac 14671 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359  df-prod 14572  df-risefac 14673  df-fallfac 14674 This theorem is referenced by:  binomrisefac  14709
 Copyright terms: Public domain W3C validator