MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binomfallfaclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomfallfaclem2 14707
Description: Lemma for binomfallfac 14708. Inductive step. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
binomfallfaclem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
binomfallfaclem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
binomfallfaclem.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
binomfallfaclem.4 (𝜓 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
Assertion
Ref Expression
binomfallfaclem2 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘
Allowed substitution hint:   𝜓(𝑘)

Proof of Theorem binomfallfaclem2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomfallfaclem.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 elfzelz 12292 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
3 bccl 13057 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
41, 2, 3syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
54nn0cnd 11305 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
6 binomfallfaclem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
7 fznn0sub 12323 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
8 fallfaccl 14683 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
96, 7, 8syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
10 binomfallfaclem.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
11 elfznn0 12382 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
12 fallfaccl 14683 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 FallFac 𝑘) ∈ ℂ)
1310, 11, 12syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 FallFac 𝑘) ∈ ℂ)
149, 13mulcld 10012 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) ∈ ℂ)
156, 10addcld 10011 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
161nn0cnd 11305 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
1715, 16subcld 10344 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℂ)
1817adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℂ)
195, 14, 18mulassd 10015 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = ((𝑁C𝑘) · (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁))))
207nn0cnd 11305 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℂ)
21 subcl 10232 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
226, 20, 21syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 − (𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
2311nn0cnd 11305 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
24 subcl 10232 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
2510, 23, 24syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
2614, 22, 25adddid 10016 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 − (𝑁𝑘)) + (𝐵𝑘))) = ((((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁𝑘))) + (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
276adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2816adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2927, 28subcld 10344 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
3023adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
3110adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3229, 30, 31ppncand 10384 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴𝑁) + 𝑘) + (𝐵𝑘)) = ((𝐴𝑁) + 𝐵))
3327, 28, 30subsubd 10372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 − (𝑁𝑘)) = ((𝐴𝑁) + 𝑘))
3433oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 − (𝑁𝑘)) + (𝐵𝑘)) = (((𝐴𝑁) + 𝑘) + (𝐵𝑘)))
3527, 31, 28addsubd 10365 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) = ((𝐴𝑁) + 𝐵))
3632, 34, 353eqtr4d 2665 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 − (𝑁𝑘)) + (𝐵𝑘)) = ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁))
3736oveq2d 6626 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 − (𝑁𝑘)) + (𝐵𝑘))) = (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
389, 13, 22mul32d 10198 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁𝑘))) = (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐴 − (𝑁𝑘))) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
39 1cnd 10008 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
4028, 39, 30addsubd 10365 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁𝑘) + 1))
4140oveq2d 6626 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (𝐴 FallFac ((𝑁𝑘) + 1)))
42 fallfacp1 14697 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac ((𝑁𝑘) + 1)) = ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐴 − (𝑁𝑘))))
436, 7, 42syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac ((𝑁𝑘) + 1)) = ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐴 − (𝑁𝑘))))
4441, 43eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) = ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐴 − (𝑁𝑘))))
4544oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐴 − (𝑁𝑘))) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
4638, 45eqtr4d 2658 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁𝑘))) = ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
479, 13, 25mulassd 10015 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐵𝑘)) = ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · ((𝐵 FallFac 𝑘) · (𝐵𝑘))))
48 fallfacp1 14697 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)) = ((𝐵 FallFac 𝑘) · (𝐵𝑘)))
4910, 11, 48syl2an 494 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)) = ((𝐵 FallFac 𝑘) · (𝐵𝑘)))
5049oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))) = ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · ((𝐵 FallFac 𝑘) · (𝐵𝑘))))
5147, 50eqtr4d 2658 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐵𝑘)) = ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))
5246, 51oveq12d 6628 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁𝑘))) + (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) + ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))))
5326, 37, 523eqtr3d 2663 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = (((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) + ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))))
5453oveq2d 6626 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁))) = ((𝑁C𝑘) · (((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) + ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
551nn0zd 11432 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
56 uzid 11654 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
57 peano2uz 11693 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
58 fzss2 12331 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
5955, 56, 57, 584syl 19 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
6059sselda 3587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
61 fznn0sub 12323 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
62 fallfaccl 14683 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
636, 61, 62syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
6460, 63syldan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
6564, 13mulcld 10012 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) ∈ ℂ)
66 peano2nn0 11285 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
6711, 66syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
68 fallfaccl 14683 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
6910, 67, 68syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
709, 69mulcld 10012 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
715, 65, 70adddid 10016 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) + ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
7219, 54, 713eqtrd 2659 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
7372sumeq2dv 14375 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
7473adantr 481 . 2 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
7515, 1fallfacp1d 14699 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑁 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
76 binomfallfaclem.4 . . . . 5 (𝜓 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
7776oveq1d 6625 . . . 4 (𝜓 → (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
7875, 77sylan9eq 2675 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑁 + 1)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
79 fzfid 12720 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
805, 14mulcld 10012 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
8179, 17, 80fsummulc1 14456 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
8281adantr 481 . . 3 ((𝜑𝜓) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
8378, 82eqtrd 2655 . 2 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
84 elfzelz 12292 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
85 bcpasc 13056 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
861, 84, 85syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
8786oveq1d 6625 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
881, 84, 3syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
8988nn0cnd 11305 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
90 peano2zm 11372 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
9184, 90syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
92 bccl 13057 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
931, 91, 92syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
9493nn0cnd 11305 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
95 elfznn0 12382 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9610, 95, 12syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐵 FallFac 𝑘) ∈ ℂ)
9763, 96mulcld 10012 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) ∈ ℂ)
9889, 94, 97adddird 10017 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
9987, 98eqtr3d 2657 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
10099sumeq2dv 14375 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
101 nn0uz 11674 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
1021, 101syl6eleq 2708 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
10389, 97mulcld 10012 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
104 oveq2 6618 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
105 oveq2 6618 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)))
106105oveq2d 6626 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))))
107 oveq2 6618 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐵 FallFac 𝑘) = (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))
108106, 107oveq12d 6628 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1))))
109104, 108oveq12d 6628 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))))
110102, 103, 109fsump1 14426 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1))))))
111 peano2nn0 11285 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
1121, 111syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
113112nn0zd 11432 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
1141nn0red 11304 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
115114ltp1d 10906 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 < (𝑁 + 1))
116115olcd 408 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1)))
117 bcval4 13042 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
1181, 113, 116, 117syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
119118oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))) = (0 · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))))
120112nn0cnd 11305 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
121120subidd 10332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) = 0)
122121oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) = (𝐴 FallFac 0))
123 0nn0 11259 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
124 fallfaccl 14683 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 0) ∈ ℂ)
1256, 123, 124sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 FallFac 0) ∈ ℂ)
126122, 125eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
127 fallfaccl 14683 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
12810, 112, 127syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
129126, 128mulcld 10012 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
130129mul02d 10186 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))) = 0)
131119, 130eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))) = 0)
132131oveq2d 6626 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + 0))
13360, 103syldan 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
13479, 133fsumcl 14405 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
135134addid1d 10188 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
136110, 132, 1353eqtrd 2659 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
137112, 101syl6eleq 2708 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0))
13894, 97mulcld 10012 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
139 oveq1 6617 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
140 df-neg 10221 . . . . . . . . . . 11 -1 = (0 − 1)
141139, 140syl6eqr 2673 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = -1)
142141oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑁C(𝑘 − 1)) = (𝑁C-1))
143 oveq2 6618 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 + 1) − 0))
144143oveq2d 6626 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)))
145 oveq2 6618 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (𝐵 FallFac 𝑘) = (𝐵 FallFac 0))
146144, 145oveq12d 6628 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0)))
147142, 146oveq12d 6628 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((𝑁C-1) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))))
148137, 138, 147fsum1p 14423 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (((𝑁C-1) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
149 neg1z 11365 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℤ
150 neg1lt0 11079 . . . . . . . . . . . . 13 -1 < 0
151150orci 405 . . . . . . . . . . . 12 (-1 < 0 ∨ 𝑁 < -1)
152 bcval4 13042 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ∈ ℤ ∧ (-1 < 0 ∨ 𝑁 < -1)) → (𝑁C-1) = 0)
153149, 151, 152mp3an23 1413 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = 0)
1541, 153syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁C-1) = 0)
155154oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁C-1) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))) = (0 · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))))
156120subid1d 10333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 0) = (𝑁 + 1))
157156oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) = (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)))
158 fallfaccl 14683 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
1596, 112, 158syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
160157, 159eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) ∈ ℂ)
161 fallfaccl 14683 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐵 FallFac 0) ∈ ℂ)
16210, 123, 161sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 FallFac 0) ∈ ℂ)
163160, 162mulcld 10012 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0)) ∈ ℂ)
164163mul02d 10186 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))) = 0)
165155, 164eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁C-1) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))) = 0)
166 1zzd 11360 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
167 0zd 11341 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
1686, 10, 1binomfallfaclem1 14706 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
169 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑁C𝑗) = (𝑁C(𝑘 − 1)))
170 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑁𝑗) = (𝑁 − (𝑘 − 1)))
171170oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝐴 FallFac (𝑁𝑗)) = (𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))))
172 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 − 1) + 1))
173172oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)) = (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)))
174171, 173oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝐴 FallFac (𝑁𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1))) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1))))
175169, 174oveq12d 6628 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)))))
176166, 167, 55, 168, 175fsumshft 14451 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)))))
17716adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
178 elfzelz 12292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
179178adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
180179zcnd 11435 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
181 1cnd 10008 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
182177, 180, 181subsub3d 10374 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝑘))
183182oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) = (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)))
184180, 181npcand 10348 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
185184oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)) = (𝐵 FallFac 𝑘))
186183, 185oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1))) = ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
187186oveq2d 6626 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
188187sumeq2dv 14375 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
189176, 188eqtr2d 2656 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))))
190 oveq2 6618 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝑁C𝑘) = (𝑁C𝑗))
191 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑁𝑘) = (𝑁𝑗))
192191oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) = (𝐴 FallFac (𝑁𝑗)))
193 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 + 1) = (𝑗 + 1))
194193oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)) = (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))
195192, 194oveq12d 6628 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))) = ((𝐴 FallFac (𝑁𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1))))
196190, 195oveq12d 6628 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))) = ((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))))
197196cbvsumv 14368 . . . . . . . . 9 Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1))))
198189, 197syl6eqr 2673 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))))
199165, 198oveq12d 6628 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁C-1) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) = (0 + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
2006, 10, 1binomfallfaclem1 14706 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))) ∈ ℂ)
20179, 200fsumcl 14405 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))) ∈ ℂ)
202201addid2d 10189 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))))
203148, 199, 2023eqtrd 2659 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))))
204136, 203oveq12d 6628 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
205 fzfid 12720 . . . . . 6 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
206205, 103, 138fsumadd 14411 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
20779, 133, 200fsumadd 14411 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
208204, 206, 2073eqtr4d 2665 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
209100, 208eqtrd 2655 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
210209adantr 481 . 2 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
21174, 83, 2103eqtr4d 2665 1 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3559   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893   < clt 10026  cmin 10218  -cneg 10219  0cn0 11244  cz 11329  cuz 11639  ...cfz 12276  Ccbc 13037  Σcsu 14358   FallFac cfallfac 14671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359  df-prod 14572  df-fallfac 14674
This theorem is referenced by:  binomfallfac  14708
  Copyright terms: Public domain W3C validator