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Theorem binomlem 15172
Description: Lemma for binom 15173 (binomial theorem). Inductive step. (Contributed by NM, 6-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
binomlem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
binomlem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
binomlem.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
binomlem.4 (𝜓 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))))
Assertion
Ref Expression
binomlem ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝜓(𝑘)

Proof of Theorem binomlem
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomlem.4 . . . . . 6 (𝜓 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))))
21adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))))
32oveq1d 7160 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴))
4 fzfid 13329 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
5 binomlem.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6 fzelp1 12947 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
7 binomlem.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
8 elfzelz 12896 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
9 bccl 13670 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
107, 8, 9syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 11945 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
126, 11sylan2 592 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
13 fznn0sub 12927 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
14 expcl 13435 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
155, 13, 14syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑(𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
16 binomlem.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
17 elfznn0 12988 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18 expcl 13435 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
1916, 17, 18syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
206, 19sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
2115, 20mulcld 10649 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
2212, 21mulcld 10649 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
234, 5, 22fsummulc1 15128 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴))
245adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2512, 21, 24mulassd 10652 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · (((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘)) · 𝐴)))
267nn0cnd 11945 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
28 1cnd 10624 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
29 elfzelz 12896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
3029adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3130zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
3227, 28, 31addsubd 11006 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁𝑘) + 1))
3332oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (𝐴↑((𝑁𝑘) + 1)))
34 expp1 13424 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑁𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · 𝐴))
355, 13, 34syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑((𝑁𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · 𝐴))
3633, 35eqtrd 2853 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · 𝐴))
3736oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)) = (((𝐴↑(𝑁𝑘)) · 𝐴) · (𝐵𝑘)))
3815, 24, 20mul32d 10838 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴↑(𝑁𝑘)) · 𝐴) · (𝐵𝑘)) = (((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘)) · 𝐴))
3937, 38eqtrd 2853 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)) = (((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘)) · 𝐴))
4039oveq2d 7161 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = ((𝑁C𝑘) · (((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘)) · 𝐴)))
4125, 40eqtr4d 2856 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
4241sumeq2dv 15048 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
43 fzssp1 12938 . . . . . . . 8 (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
4443a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
45 fznn0sub 12927 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
46 expcl 13435 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
475, 45, 46syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
4847, 19mulcld 10649 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
4911, 48mulcld 10649 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
506, 49sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
517adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
52 eldifi 4100 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
5352, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
5453adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
55 eldifn 4101 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
5655adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
57 bcval3 13654 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) = 0)
5851, 54, 56, 57syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑁C𝑘) = 0)
5958oveq1d 7160 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
6048mul02d 10826 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
6152, 60sylan2 592 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
6259, 61eqtrd 2853 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
63 fzssuz 12936 . . . . . . . 8 (0...(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ‘0)
6463a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ‘0))
6544, 50, 62, 64sumss 15069 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
6623, 42, 653eqtrd 2857 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
6766adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
683, 67eqtrd 2853 . . 3 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
691oveq1d 7160 . . . 4 (𝜓 → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵))
704, 16, 22fsummulc1 15128 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵))
71 1zzd 12001 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
72 0z 11980 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
7372a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
747nn0zd 12073 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7516adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7622, 75mulcld 10649 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) ∈ ℂ)
77 oveq2 7153 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑗 − 1)))
78 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑁𝑘) = (𝑁 − (𝑗 − 1)))
7978oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝐴↑(𝑁𝑘)) = (𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))))
80 oveq2 7153 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝐵𝑘) = (𝐵↑(𝑗 − 1)))
8179, 80oveq12d 7163 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘)) = ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1))))
8277, 81oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) = ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))))
8382oveq1d 7160 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵))
8471, 73, 74, 76, 83fsumshft 15123 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵))
85 oveq1 7152 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − 1) = (𝑘 − 1))
8685oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑁C(𝑗 − 1)) = (𝑁C(𝑘 − 1)))
8785oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝑁 − (𝑗 − 1)) = (𝑁 − (𝑘 − 1)))
8887oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) = (𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))))
8985oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝐵↑(𝑗 − 1)) = (𝐵↑(𝑘 − 1)))
9088, 89oveq12d 7163 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1))) = ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1))))
9186, 90oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))))
9291oveq1d 7160 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵))
9392cbvsumv 15041 . . . . . . 7 Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵)
9484, 93syl6eq 2869 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵))
9526adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
96 elfzelz 12896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
9796adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
9897zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
99 1cnd 10624 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
10095, 98, 99subsub3d 11015 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝑘))
101100oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) = (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)))
102101oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))))
103102oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))))
104103oveq1d 7160 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵))
105 fzp1ss 12946 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
10672, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
107106sseli 3960 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
1088adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
109 peano2zm 12013 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
111 bccl 13670 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
1127, 110, 111syl2an2r 681 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
113112nn0cnd 11945 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
114107, 113sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
115107, 47sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
11616adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
117 elfznn 12924 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
118 0p1e1 11747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
119118oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
120117, 119eleq2s 2928 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
121120adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
122 nnm1nn0 11926 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
124116, 123expcld 13498 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐵↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
125115, 124mulcld 10649 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
126114, 125, 116mulassd 10652 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵)))
127115, 124, 116mulassd 10652 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵)))
128 expm1t 13445 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵𝑘) = ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵))
12916, 120, 128syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐵𝑘) = ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵))
130129oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵)))
131127, 130eqtr4d 2856 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))
132131oveq2d 7161 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵)) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
133104, 126, 1323eqtrd 2857 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
134133sumeq2dv 15048 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
135106a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
136113, 48mulcld 10649 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
137107, 136sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
1387adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
139 eldifi 4100 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
140139adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
141140, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
142141, 109syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
143 eldifn 4101 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
144143adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ¬ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
14572a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 0 ∈ ℤ)
146138nn0zd 12073 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
147 1zzd 12001 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 1 ∈ ℤ)
148 fzaddel 12929 . . . . . . . . . . . . 13 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑘 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑘 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
149145, 146, 142, 147, 148syl22anc 834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑘 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
150141zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
151 ax-1cn 10583 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
152 npcan 10883 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
153150, 151, 152sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
154153eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (((𝑘 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
155149, 154bitrd 280 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
156144, 155mtbird 326 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ¬ (𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁))
157 bcval3 13654 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝑘 − 1)) = 0)
158138, 142, 156, 157syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) = 0)
159158oveq1d 7160 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
160139, 60sylan2 592 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
161159, 160eqtrd 2853 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
162135, 137, 161, 64sumss 15069 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
16394, 134, 1623eqtrd 2857 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
16470, 163eqtrd 2853 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
16569, 164sylan9eqr 2875 . . 3 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
16668, 165oveq12d 7163 . 2 ((𝜑𝜓) → ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
1675, 16addcld 10648 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
168167, 7expp1d 13499 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · (𝐴 + 𝐵)))
169167, 7expcld 13498 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) ∈ ℂ)
170169, 5, 16adddid 10653 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · (𝐴 + 𝐵)) = ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)))
171168, 170eqtrd 2853 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)))
172171adantr 481 . 2 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)))
173 bcpasc 13669 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
1747, 8, 173syl2an 595 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
175174oveq1d 7160 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
17611, 113, 48adddird 10654 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
177175, 176eqtr3d 2855 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
178177sumeq2dv 15048 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
179 fzfid 13329 . . . . 5 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
180179, 49, 136fsumadd 15084 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
181178, 180eqtrd 2853 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
182181adantr 481 . 2 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
183166, 172, 1823eqtr4d 2863 1 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cdif 3930  wss 3933  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12880  cexp 13417  Ccbc 13650  Σcsu 15030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031
This theorem is referenced by:  binom  15173
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