MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  birthdaylem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem birthdaylem1 24573
Description: Lemma for birthday 24576. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s 𝑆 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t 𝑇 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
Assertion
Ref Expression
birthdaylem1 (𝑇𝑆𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthdaylem1
StepHypRef Expression
1 f1f 6060 . . . 4 (𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁) → 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁))
21ss2abi 3658 . . 3 {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ⊆ {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
3 birthday.t . . 3 𝑇 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
4 birthday.s . . 3 𝑆 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
52, 3, 43sstr4i 3628 . 2 𝑇𝑆
6 fzfi 12708 . . . . 5 (1...𝑁) ∈ Fin
7 fzfi 12708 . . . . 5 (1...𝐾) ∈ Fin
8 mapvalg 7813 . . . . 5 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (1...𝐾) ∈ Fin) → ((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)})
96, 7, 8mp2an 707 . . . 4 ((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
104, 9eqtr4i 2651 . . 3 𝑆 = ((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾))
11 mapfi 8207 . . . 4 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (1...𝐾) ∈ Fin) → ((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) ∈ Fin)
126, 7, 11mp2an 707 . . 3 ((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) ∈ Fin
1310, 12eqeltri 2700 . 2 𝑆 ∈ Fin
14 elfz1end 12310 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (1...𝑁))
15 ne0i 3902 . . . 4 (𝑁 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) ≠ ∅)
1614, 15sylbi 207 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ≠ ∅)
1710eqeq1i 2631 . . . . 5 (𝑆 = ∅ ↔ ((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) = ∅)
18 ovex 6633 . . . . . . 7 (1...𝑁) ∈ V
19 ovex 6633 . . . . . . 7 (1...𝐾) ∈ V
2018, 19map0 7843 . . . . . 6 (((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) = ∅ ↔ ((1...𝑁) = ∅ ∧ (1...𝐾) ≠ ∅))
2120simplbi 476 . . . . 5 (((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) = ∅ → (1...𝑁) = ∅)
2217, 21sylbi 207 . . . 4 (𝑆 = ∅ → (1...𝑁) = ∅)
2322necon3i 2828 . . 3 ((1...𝑁) ≠ ∅ → 𝑆 ≠ ∅)
2416, 23syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
255, 13, 243pm3.2i 1237 1 (𝑇𝑆𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  {cab 2612  wne 2796  wss 3560  c0 3896  wf 5846  1-1wf1 5847  (class class class)co 6605  𝑚 cmap 7803  Fincfn 7900  1c1 9882  cn 10965  ...cfz 12265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266
This theorem is referenced by:  birthdaylem3  24575  birthday  24576
  Copyright terms: Public domain W3C validator