Theorem birthdaylem1 24723

Description: Lemma for birthday 24726. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
birthday.s	⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t	⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
birthdaylem1	⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthdaylem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 6139	. . . 4 ⊢ (𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁) → 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁))
2	1	ss2abi 3707	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
3		birthday.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
4		birthday.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
5	2, 3, 4	3sstr4i 3677	. 2 ⊢ 𝑇 ⊆ 𝑆
6		fzfi 12811	. . . . 5 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
7		fzfi 12811	. . . . 5 ⊢ (1...𝐾) ∈ Fin
8		mapvalg 7909	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (1...𝐾) ∈ Fin) → ((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)})
9	6, 7, 8	mp2an 708	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
10	4, 9	eqtr4i 2676	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾))
11		mapfi 8303	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (1...𝐾) ∈ Fin) → ((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) ∈ Fin)
12	6, 7, 11	mp2an 708	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) ∈ Fin
13	10, 12	eqeltri 2726	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ Fin
14		elfz1end 12409	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (1...𝑁))
15		ne0i 3954	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) ≠ ∅)
16	14, 15	sylbi 207	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ≠ ∅)
17	10	eqeq1i 2656	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ∅ ↔ ((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) = ∅)
18		ovex 6718	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
19		ovex 6718	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝐾) ∈ V
20	18, 19	map0 7940	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) = ∅ ↔ ((1...𝑁) = ∅ ∧ (1...𝐾) ≠ ∅))
21	20	simplbi 475	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) = ∅ → (1...𝑁) = ∅)
22	17, 21	sylbi 207	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ∅ → (1...𝑁) = ∅)
23	22	necon3i 2855	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) ≠ ∅ → 𝑆 ≠ ∅)
24	16, 23	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
25	5, 13, 24	3pm3.2i 1259	1 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {cab 2637   ≠ wne 2823   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  ⟶wf 5922  –1-1→wf1 5923  (class class class)co 6690   ↑_𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  1c1 9975  ℕcn 11058  ...cfz 12364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365

This theorem is referenced by:  birthdaylem3  24725  birthday  24726