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Theorem birthdaylem3 24725
Description: For general 𝑁 and 𝐾, upper-bound the fraction of injective functions from 1...𝐾 to 1...𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s 𝑆 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t 𝑇 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
Assertion
Ref Expression
birthdaylem3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((#‘𝑇) / (#‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthdaylem3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 birthday.t . . . . . . . 8 𝑇 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
2 abn0 3987 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁))
3 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ∈ V
43brdom 8009 . . . . . . . . . . . 12 ((1...𝐾) ≼ (1...𝑁) ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁))
52, 4bitr4i 267 . . . . . . . . . . 11 ({𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁))
6 hashfz1 13174 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0 → (#‘(1...𝐾)) = 𝐾)
7 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
8 hashfz1 13174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#‘(1...𝑁)) = 𝑁)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (#‘(1...𝑁)) = 𝑁)
106, 9breqan12d 4701 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((#‘(1...𝐾)) ≤ (#‘(1...𝑁)) ↔ 𝐾𝑁))
11 fzfid 12812 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (1...𝐾) ∈ Fin)
12 fzfid 12812 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (1...𝑁) ∈ Fin)
13 hashdom 13206 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((#‘(1...𝐾)) ≤ (#‘(1...𝑁)) ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁)))
1411, 12, 13syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((#‘(1...𝐾)) ≤ (#‘(1...𝑁)) ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁)))
15 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
16 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
17 lenlt 10154 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
1815, 16, 17syl2an 493 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
1910, 14, 183bitr3d 298 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((1...𝐾) ≼ (1...𝑁) ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
205, 19syl5bb 272 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ({𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
2120necon4abid 2863 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ({𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} = ∅ ↔ 𝑁 < 𝐾))
2221biimpar 501 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} = ∅)
231, 22syl5eq 2697 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 𝑇 = ∅)
2423fveq2d 6233 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (#‘𝑇) = (#‘∅))
25 hash0 13196 . . . . . 6 (#‘∅) = 0
2624, 25syl6eq 2701 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (#‘𝑇) = 0)
2726oveq1d 6705 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((#‘𝑇) / (#‘𝑆)) = (0 / (#‘𝑆)))
28 birthday.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
2928, 1birthdaylem1 24723 . . . . . . . . 9 (𝑇𝑆𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
3029simp3i 1092 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
3130ad2antlr 763 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 𝑆 ≠ ∅)
3229simp2i 1091 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ Fin
33 hashnncl 13195 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Fin → ((#‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . 7 ((#‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅)
3531, 34sylibr 224 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (#‘𝑆) ∈ ℕ)
3635nncnd 11074 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (#‘𝑆) ∈ ℂ)
3735nnne0d 11103 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (#‘𝑆) ≠ 0)
3836, 37div0d 10838 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (0 / (#‘𝑆)) = 0)
3927, 38eqtrd 2685 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((#‘𝑇) / (#‘𝑆)) = 0)
4015adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
4140resqcld 13075 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾↑2) ∈ ℝ)
4241, 40resubcld 10496 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾↑2) − 𝐾) ∈ ℝ)
4342rehalfcld 11317 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ)
44 nndivre 11094 . . . . . . . 8 (((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
4543, 44sylancom 702 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
4645renegcld 10495 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
4746adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
4847rpefcld 14879 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
4948rpge0d 11914 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 0 ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
5039, 49eqbrtrd 4707 . 2 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((#‘𝑇) / (#‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
51 simplr 807 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
52 simpr 476 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
53 simpll 805 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
54 nn0uz 11760 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
5553, 54syl6eleq 2740 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ‘0))
56 nnz 11437 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
5756ad2antlr 763 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
58 elfz5 12372 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾𝑁))
5955, 57, 58syl2anc 694 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾𝑁))
6052, 59mpbird 247 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
6128, 1birthdaylem2 24724 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((#‘𝑇) / (#‘𝑆)) = (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))))
6251, 60, 61syl2anc 694 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → ((#‘𝑇) / (#‘𝑆)) = (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))))
63 fzfid 12812 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (0...(𝐾 − 1)) ∈ Fin)
64 elfznn0 12471 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6564adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6665nn0red 11390 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
6753nn0red 11390 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
68 peano2rem 10386 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
7069adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
7151adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
7271nnred 11073 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
73 elfzle2 12383 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 − 1))
7473adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ≤ (𝐾 − 1))
7551nnred 11073 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
7667ltm1d 10994 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 − 1) < 𝐾)
7769, 67, 75, 76, 52ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 − 1) < 𝑁)
7877adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) < 𝑁)
7966, 70, 72, 74, 78lelttrd 10233 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 < 𝑁)
8071nncnd 11074 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
8180mulid1d 10095 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
8279, 81breqtrrd 4713 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 < (𝑁 · 1))
83 1red 10093 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
8471nngt0d 11102 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 < 𝑁)
85 ltdivmul 10936 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ 𝑘 < (𝑁 · 1)))
8666, 83, 72, 84, 85syl112anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ 𝑘 < (𝑁 · 1)))
8782, 86mpbird 247 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) < 1)
8866, 71nndivred 11107 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ)
89 1re 10077 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
90 difrp 11906 . . . . . . . . 9 (((𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ+))
9188, 89, 90sylancl 695 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ+))
9287, 91mpbid 222 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
9392relogcld 24414 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ)
9488renegcld 10495 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → -(𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ)
95 elfzle1 12382 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 0 ≤ 𝑘)
9695adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 ≤ 𝑘)
97 divge0 10930 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ (𝑘 / 𝑁))
9866, 96, 72, 84, 97syl22anc 1367 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 ≤ (𝑘 / 𝑁))
9988, 98, 87eflegeo 14895 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))))
10088reefcld 14862 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ)
101 efgt0 14877 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁)))
10288, 101syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁)))
10392rpregt0d 11916 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (𝑘 / 𝑁))))
104 lerec2 10949 . . . . . . . . . 10 ((((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁))) ∧ ((1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (𝑘 / 𝑁)))) → ((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))) ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁)))))
105100, 102, 103, 104syl21anc 1365 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))) ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁)))))
10699, 105mpbid 222 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
10792reeflogd 24415 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) = (1 − (𝑘 / 𝑁)))
10888recnd 10106 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) ∈ ℂ)
109 efneg 14872 . . . . . . . . 9 ((𝑘 / 𝑁) ∈ ℂ → (exp‘-(𝑘 / 𝑁)) = (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
110108, 109syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘-(𝑘 / 𝑁)) = (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
111106, 107, 1103brtr4d 4717 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁)))
112 efle 14892 . . . . . . . 8 (((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ -(𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ) → ((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁) ↔ (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁))))
11393, 94, 112syl2anc 694 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁) ↔ (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁))))
114111, 113mpbird 247 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁))
11563, 93, 94, 114fsumle 14575 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁))
11663, 108fsumneg 14563 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁) = -Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁))
11751nncnd 11074 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
11866recnd 10106 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
119 nnne0 11091 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
120119ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
12163, 117, 118, 120fsumdivc 14562 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 / 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁))
122 arisum2 14637 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 = (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2))
12353, 122syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 = (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2))
124123oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 / 𝑁) = ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
125121, 124eqtr3d 2687 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁) = ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
126125negeqd 10313 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → -Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁) = -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
127116, 126eqtrd 2685 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁) = -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
128115, 127breqtrd 4711 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
12963, 93fsumrecl 14509 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ)
13046adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
131 efle 14892 . . . . 5 ((Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))))
132129, 130, 131syl2anc 694 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))))
133128, 132mpbid 222 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
13462, 133eqbrtrd 4707 . 2 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → ((#‘𝑇) / (#‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
13516adantl 481 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
13650, 134, 135, 40ltlecasei 10183 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((#‘𝑇) / (#‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  {cab 2637  wne 2823  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  wf 5922  1-1wf1 5923  cfv 5926  (class class class)co 6690  cdom 7995  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  ...cfz 12364  cexp 12900  #chash 13157  Σcsu 14460  expce 14836  logclog 24346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348
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