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Theorem birthdaylem3 25458
Description: For general 𝑁 and 𝐾, upper-bound the fraction of injective functions from 1...𝐾 to 1...𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s 𝑆 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t 𝑇 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
Assertion
Ref Expression
birthdaylem3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthdaylem3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 birthday.t . . . . . . . 8 𝑇 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
2 abn0 4333 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁))
3 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ∈ V
43brdom 8509 . . . . . . . . . . . 12 ((1...𝐾) ≼ (1...𝑁) ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁))
52, 4bitr4i 279 . . . . . . . . . . 11 ({𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁))
6 hashfz1 13694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
7 nnnn0 11892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
8 hashfz1 13694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
106, 9breqan12d 5073 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ 𝐾𝑁))
11 fzfid 13329 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (1...𝐾) ∈ Fin)
12 fzfid 13329 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (1...𝑁) ∈ Fin)
13 hashdom 13728 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁)))
1411, 12, 13syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁)))
15 nn0re 11894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
16 nnre 11633 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
17 lenlt 10707 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
1815, 16, 17syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
1910, 14, 183bitr3d 310 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((1...𝐾) ≼ (1...𝑁) ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
205, 19syl5bb 284 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ({𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
2120necon4abid 3053 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ({𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} = ∅ ↔ 𝑁 < 𝐾))
2221biimpar 478 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} = ∅)
231, 22syl5eq 2865 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 𝑇 = ∅)
2423fveq2d 6667 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑇) = (♯‘∅))
25 hash0 13716 . . . . . 6 (♯‘∅) = 0
2624, 25syl6eq 2869 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑇) = 0)
2726oveq1d 7160 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (0 / (♯‘𝑆)))
28 birthday.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
2928, 1birthdaylem1 25456 . . . . . . . . 9 (𝑇𝑆𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
3029simp3i 1133 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
3130ad2antlr 723 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 𝑆 ≠ ∅)
3229simp2i 1132 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ Fin
33 hashnncl 13715 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . 7 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅)
3531, 34sylibr 235 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ)
3635nncnd 11642 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
3735nnne0d 11675 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) ≠ 0)
3836, 37div0d 11403 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (0 / (♯‘𝑆)) = 0)
3927, 38eqtrd 2853 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = 0)
4015adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
4140resqcld 13599 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾↑2) ∈ ℝ)
4241, 40resubcld 11056 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾↑2) − 𝐾) ∈ ℝ)
4342rehalfcld 11872 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ)
44 nndivre 11666 . . . . . . . 8 (((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
4543, 44sylancom 588 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
4645renegcld 11055 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
4746adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
4847rpefcld 15446 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
4948rpge0d 12423 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 0 ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
5039, 49eqbrtrd 5079 . 2 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
51 simplr 765 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
52 simpr 485 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
53 simpll 763 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
54 nn0uz 12268 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
5553, 54eleqtrdi 2920 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ‘0))
56 nnz 11992 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
5756ad2antlr 723 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
58 elfz5 12888 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾𝑁))
5955, 57, 58syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾𝑁))
6052, 59mpbird 258 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
6128, 1birthdaylem2 25457 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))))
6251, 60, 61syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))))
63 fzfid 13329 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (0...(𝐾 − 1)) ∈ Fin)
64 elfznn0 12988 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6564adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6665nn0red 11944 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
6753nn0red 11944 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
68 peano2rem 10941 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
7069adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
7151adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
7271nnred 11641 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
73 elfzle2 12899 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 − 1))
7473adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ≤ (𝐾 − 1))
7551nnred 11641 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
7667ltm1d 11560 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 − 1) < 𝐾)
7769, 67, 75, 76, 52ltletrd 10788 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 − 1) < 𝑁)
7877adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) < 𝑁)
7966, 70, 72, 74, 78lelttrd 10786 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 < 𝑁)
8071nncnd 11642 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
8180mulid1d 10646 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
8279, 81breqtrrd 5085 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 < (𝑁 · 1))
83 1red 10630 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
8471nngt0d 11674 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 < 𝑁)
85 ltdivmul 11503 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ 𝑘 < (𝑁 · 1)))
8666, 83, 72, 84, 85syl112anc 1366 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ 𝑘 < (𝑁 · 1)))
8782, 86mpbird 258 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) < 1)
8866, 71nndivred 11679 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ)
89 1re 10629 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
90 difrp 12415 . . . . . . . . 9 (((𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ+))
9188, 89, 90sylancl 586 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ+))
9287, 91mpbid 233 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
9392relogcld 25133 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ)
9488renegcld 11055 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → -(𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ)
95 elfzle1 12898 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 0 ≤ 𝑘)
9695adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 ≤ 𝑘)
97 divge0 11497 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ (𝑘 / 𝑁))
9866, 96, 72, 84, 97syl22anc 834 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 ≤ (𝑘 / 𝑁))
9988, 98, 87eflegeo 15462 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))))
10088reefcld 15429 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ)
101 efgt0 15444 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁)))
10288, 101syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁)))
10392rpregt0d 12425 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (𝑘 / 𝑁))))
104 lerec2 11516 . . . . . . . . . 10 ((((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁))) ∧ ((1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (𝑘 / 𝑁)))) → ((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))) ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁)))))
105100, 102, 103, 104syl21anc 833 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))) ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁)))))
10699, 105mpbid 233 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
10792reeflogd 25134 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) = (1 − (𝑘 / 𝑁)))
10888recnd 10657 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) ∈ ℂ)
109 efneg 15439 . . . . . . . . 9 ((𝑘 / 𝑁) ∈ ℂ → (exp‘-(𝑘 / 𝑁)) = (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
110108, 109syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘-(𝑘 / 𝑁)) = (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
111106, 107, 1103brtr4d 5089 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁)))
112 efle 15459 . . . . . . . 8 (((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ -(𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ) → ((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁) ↔ (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁))))
11393, 94, 112syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁) ↔ (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁))))
114111, 113mpbird 258 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁))
11563, 93, 94, 114fsumle 15142 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁))
11663, 108fsumneg 15130 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁) = -Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁))
11751nncnd 11642 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
11866recnd 10657 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
119 nnne0 11659 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
120119ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
12163, 117, 118, 120fsumdivc 15129 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 / 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁))
122 arisum2 15204 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 = (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2))
12353, 122syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 = (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2))
124123oveq1d 7160 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 / 𝑁) = ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
125121, 124eqtr3d 2855 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁) = ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
126125negeqd 10868 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → -Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁) = -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
127116, 126eqtrd 2853 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁) = -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
128115, 127breqtrd 5083 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
12963, 93fsumrecl 15079 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ)
13046adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
131 efle 15459 . . . . 5 ((Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))))
132129, 130, 131syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))))
133128, 132mpbid 233 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
13462, 133eqbrtrd 5079 . 2 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
13516adantl 482 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
13650, 134, 135, 40ltlecasei 10736 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  {cab 2796  wne 3013  wss 3933  c0 4288   class class class wbr 5057  wf 6344  1-1wf1 6345  cfv 6348  (class class class)co 7145  cdom 8495  Fincfn 8497  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  ...cfz 12880  cexp 13417  chash 13678  Σcsu 15030  expce 15403  logclog 25065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067
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