MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsinv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsinv1 15362
Description: There is an explicit inverse to the bits function for nonnegative integers (which can be extended to negative integers using bitscmp 15358), part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsinv1 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑁)(2↑𝑛) = 𝑁)
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem bitsinv1
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6817 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = (0..^0))
2 fzo0 12682 . . . . . . . . . . 11 (0..^0) = ∅
31, 2syl6eq 2806 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = ∅)
43ineq2d 3953 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ ∅))
5 in0 4107 . . . . . . . . 9 ((bits‘𝑁) ∩ ∅) = ∅
64, 5syl6eq 2806 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ∅)
76sumeq1d 14626 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ∅ (2↑𝑛))
8 sum0 14647 . . . . . . 7 Σ𝑛 ∈ ∅ (2↑𝑛) = 0
97, 8syl6eq 2806 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = 0)
10 oveq2 6817 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = (2↑0))
11 2cn 11279 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
12 exp0 13054 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2↑0) = 1
1410, 13syl6eq 2806 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = 1)
1514oveq2d 6825 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod 1))
169, 15eqeq12d 2771 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ 0 = (𝑁 mod 1)))
1716imbi2d 329 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 = (𝑁 mod 1))))
18 oveq2 6817 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (0..^𝑥) = (0..^𝑘))
1918ineq2d 3953 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)))
2019sumeq1d 14626 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛))
21 oveq2 6817 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (2↑𝑥) = (2↑𝑘))
2221oveq2d 6825 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod (2↑𝑘)))
2320, 22eqeq12d 2771 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘))))
2423imbi2d 329 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)))))
25 oveq2 6817 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0..^𝑥) = (0..^(𝑘 + 1)))
2625ineq2d 3953 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
2726sumeq1d 14626 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛))
28 oveq2 6817 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑘 + 1)))
2928oveq2d 6825 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))
3027, 29eqeq12d 2771 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1)))))
3130imbi2d 329 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))))
32 oveq2 6817 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (0..^𝑥) = (0..^𝑁))
3332ineq2d 3953 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁)))
3433sumeq1d 14626 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛))
35 oveq2 6817 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
3635oveq2d 6825 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod (2↑𝑁)))
3734, 36eqeq12d 2771 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁))))
3837imbi2d 329 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁)))))
39 nn0z 11588 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
40 zmod10 12876 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 1) = 0)
4139, 40syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 mod 1) = 0)
4241eqcomd 2762 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 = (𝑁 mod 1))
43 oveq1 6816 . . . . . . 7 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)))
44 fzonel 12673 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑘)
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑘))
46 disjsn 4386 . . . . . . . . . . . 12 (((0..^𝑘) ∩ {𝑘}) = ∅ ↔ ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑘))
4745, 46sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((0..^𝑘) ∩ {𝑘}) = ∅)
4847ineq2d 3953 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∩ {𝑘})) = ((bits‘𝑁) ∩ ∅))
49 inindi 3969 . . . . . . . . . 10 ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∩ {𝑘})) = (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∩ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}))
5048, 49, 53eqtr3g 2813 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∩ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})) = ∅)
51 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
52 nn0uz 11911 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
5351, 52syl6eleq 2845 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
54 fzosplitsn 12766 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ‘0) → (0..^(𝑘 + 1)) = ((0..^𝑘) ∪ {𝑘}))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑘 + 1)) = ((0..^𝑘) ∪ {𝑘}))
5655ineq2d 3953 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∪ {𝑘})))
57 indi 4012 . . . . . . . . . 10 ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∪ {𝑘})) = (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∪ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}))
5856, 57syl6eq 2806 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∪ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})))
59 fzofi 12963 . . . . . . . . . . 11 (0..^(𝑘 + 1)) ∈ Fin
60 inss2 3973 . . . . . . . . . . 11 ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ (0..^(𝑘 + 1))
61 ssfi 8341 . . . . . . . . . . 11 (((0..^(𝑘 + 1)) ∈ Fin ∧ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ (0..^(𝑘 + 1))) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∈ Fin)
6259, 60, 61mp2an 710 . . . . . . . . . 10 ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∈ Fin
6362a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∈ Fin)
64 2nn 11373 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 2 ∈ ℕ)
66 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
6766elin2d 3942 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))
68 elfzouz 12664 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (0..^(𝑘 + 1)) → 𝑛 ∈ (ℤ‘0))
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘0))
7069, 52syl6eleqr 2846 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7165, 70nnexpcld 13220 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
7271nncnd 11224 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
7350, 58, 63, 72fsumsplit 14666 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)))
74 bitsinv1lem 15361 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
7539, 74sylan 489 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
76 eqeq2 2767 . . . . . . . . . . 11 ((2↑𝑘) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = (2↑𝑘) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
77 eqeq2 2767 . . . . . . . . . . 11 (0 = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
78 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
7978snssd 4481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → {𝑘} ⊆ (bits‘𝑁))
80 sseqin2 3956 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑘} ⊆ (bits‘𝑁) ↔ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = {𝑘})
8179, 80sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = {𝑘})
8281sumeq1d 14626 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ {𝑘} (2↑𝑛))
83 simplr 809 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8464a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → 2 ∈ ℕ)
8584, 83nnexpcld 13220 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
8685nncnd 11224 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
87 oveq2 6817 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
8887sumsn 14670 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑘) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ {𝑘} (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
8983, 86, 88syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ {𝑘} (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
9082, 89eqtrd 2790 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = (2↑𝑘))
91 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
92 disjsn 4386 . . . . . . . . . . . . . 14 (((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = ∅ ↔ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
9391, 92sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = ∅)
9493sumeq1d 14626 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ∅ (2↑𝑛))
9594, 8syl6eq 2806 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = 0)
9676, 77, 90, 95ifbothda 4263 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0))
9796oveq2d 6825 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
9875, 97eqtr4d 2793 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)))
9973, 98eqeq12d 2771 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) ↔ (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛))))
10043, 99syl5ibr 236 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1)))))
101100expcom 450 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))))
102101a2d 29 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘))) → (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))))
10317, 24, 31, 38, 42, 102nn0ind 11660 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁))))
104103pm2.43i 52 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁)))
105 id 22 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
106105, 52syl6eleq 2845 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
10764a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
108107, 105nnexpcld 13220 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
109108nnzd 11669 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
110 2z 11597 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
111 uzid 11890 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
112110, 111ax-mp 5 . . . . . . 7 2 ∈ (ℤ‘2)
113 bernneq3 13182 . . . . . . 7 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (2↑𝑁))
114112, 113mpan 708 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑁))
115 elfzo2 12663 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘0) ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑𝑁)))
116106, 109, 114, 115syl3anbrc 1429 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)))
117 bitsfzo 15355 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁)))
11839, 105, 117syl2anc 696 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁)))
119116, 118mpbid 222 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
120 df-ss 3725 . . . 4 ((bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁) ↔ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁)) = (bits‘𝑁))
121119, 120sylib 208 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁)) = (bits‘𝑁))
122121sumeq1d 14626 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑁)(2↑𝑛))
123 nn0re 11489 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
124 2rp 12026 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
125124a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
126125, 39rpexpcld 13222 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
127 nn0ge0 11506 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
128 modid 12885 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑁𝑁 < (2↑𝑁))) → (𝑁 mod (2↑𝑁)) = 𝑁)
129123, 126, 127, 114, 128syl22anc 1478 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 mod (2↑𝑁)) = 𝑁)
130104, 122, 1293eqtr3d 2798 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑁)(2↑𝑛) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1628  wcel 2135  cun 3709  cin 3710  wss 3711  c0 4054  ifcif 4226  {csn 4317   class class class wbr 4800  cfv 6045  (class class class)co 6809  Fincfn 8117  cc 10122  cr 10123  0cc0 10124  1c1 10125   + caddc 10127   < clt 10262  cle 10263  cn 11208  2c2 11258  0cn0 11480  cz 11565  cuz 11875  +crp 12021  ..^cfzo 12655   mod cmo 12858  cexp 13050  Σcsu 14611  bitscbits 15339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-se 5222  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-sup 8509  df-inf 8510  df-oi 8576  df-card 8951  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-rp 12022  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-fl 12783  df-mod 12859  df-seq 12992  df-exp 13051  df-hash 13308  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-clim 14414  df-sum 14612  df-dvds 15179  df-bits 15342
This theorem is referenced by:  bitsinv2  15363  bitsf1ocnv  15364  eulerpartlemgc  30729  eulerpartlemgs2  30747
  Copyright terms: Public domain W3C validator