MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsinv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsinv1 15088
Description: There is an explicit inverse to the bits function for nonnegative integers (which can be extended to negative integers using bitscmp 15084), part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsinv1 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑁)(2↑𝑛) = 𝑁)
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem bitsinv1
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6612 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = (0..^0))
2 fzo0 12433 . . . . . . . . . . 11 (0..^0) = ∅
31, 2syl6eq 2671 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = ∅)
43ineq2d 3792 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ ∅))
5 in0 3940 . . . . . . . . 9 ((bits‘𝑁) ∩ ∅) = ∅
64, 5syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ∅)
76sumeq1d 14365 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ∅ (2↑𝑛))
8 sum0 14385 . . . . . . 7 Σ𝑛 ∈ ∅ (2↑𝑛) = 0
97, 8syl6eq 2671 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = 0)
10 oveq2 6612 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = (2↑0))
11 2cn 11035 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
12 exp0 12804 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2↑0) = 1
1410, 13syl6eq 2671 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = 1)
1514oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod 1))
169, 15eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ 0 = (𝑁 mod 1)))
1716imbi2d 330 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 = (𝑁 mod 1))))
18 oveq2 6612 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (0..^𝑥) = (0..^𝑘))
1918ineq2d 3792 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)))
2019sumeq1d 14365 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛))
21 oveq2 6612 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (2↑𝑥) = (2↑𝑘))
2221oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod (2↑𝑘)))
2320, 22eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘))))
2423imbi2d 330 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)))))
25 oveq2 6612 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0..^𝑥) = (0..^(𝑘 + 1)))
2625ineq2d 3792 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
2726sumeq1d 14365 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛))
28 oveq2 6612 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑘 + 1)))
2928oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))
3027, 29eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1)))))
3130imbi2d 330 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))))
32 oveq2 6612 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (0..^𝑥) = (0..^𝑁))
3332ineq2d 3792 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁)))
3433sumeq1d 14365 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛))
35 oveq2 6612 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
3635oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod (2↑𝑁)))
3734, 36eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁))))
3837imbi2d 330 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁)))))
39 nn0z 11344 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
40 zmod10 12626 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 1) = 0)
4139, 40syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 mod 1) = 0)
4241eqcomd 2627 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 = (𝑁 mod 1))
43 oveq1 6611 . . . . . . 7 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)))
44 fzonel 12424 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑘)
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑘))
46 disjsn 4216 . . . . . . . . . . . 12 (((0..^𝑘) ∩ {𝑘}) = ∅ ↔ ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑘))
4745, 46sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((0..^𝑘) ∩ {𝑘}) = ∅)
4847ineq2d 3792 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∩ {𝑘})) = ((bits‘𝑁) ∩ ∅))
49 inindi 3808 . . . . . . . . . 10 ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∩ {𝑘})) = (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∩ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}))
5048, 49, 53eqtr3g 2678 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∩ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})) = ∅)
51 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
52 nn0uz 11666 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
5351, 52syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
54 fzosplitsn 12517 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ‘0) → (0..^(𝑘 + 1)) = ((0..^𝑘) ∪ {𝑘}))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑘 + 1)) = ((0..^𝑘) ∪ {𝑘}))
5655ineq2d 3792 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∪ {𝑘})))
57 indi 3849 . . . . . . . . . 10 ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∪ {𝑘})) = (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∪ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}))
5856, 57syl6eq 2671 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∪ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})))
59 fzofi 12713 . . . . . . . . . . 11 (0..^(𝑘 + 1)) ∈ Fin
60 inss2 3812 . . . . . . . . . . 11 ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ (0..^(𝑘 + 1))
61 ssfi 8124 . . . . . . . . . . 11 (((0..^(𝑘 + 1)) ∈ Fin ∧ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ (0..^(𝑘 + 1))) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∈ Fin)
6259, 60, 61mp2an 707 . . . . . . . . . 10 ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∈ Fin
6362a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∈ Fin)
64 2nn 11129 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 2 ∈ ℕ)
66 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
6766elin2d 3781 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))
68 elfzouz 12415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (0..^(𝑘 + 1)) → 𝑛 ∈ (ℤ‘0))
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘0))
7069, 52syl6eleqr 2709 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7165, 70nnexpcld 12970 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
7271nncnd 10980 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
7350, 58, 63, 72fsumsplit 14404 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)))
74 bitsinv1lem 15087 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
7539, 74sylan 488 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
76 eqeq2 2632 . . . . . . . . . . 11 ((2↑𝑘) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = (2↑𝑘) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
77 eqeq2 2632 . . . . . . . . . . 11 (0 = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
78 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
7978snssd 4309 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → {𝑘} ⊆ (bits‘𝑁))
80 sseqin2 3795 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑘} ⊆ (bits‘𝑁) ↔ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = {𝑘})
8179, 80sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = {𝑘})
8281sumeq1d 14365 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ {𝑘} (2↑𝑛))
83 simplr 791 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8464a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → 2 ∈ ℕ)
8584, 83nnexpcld 12970 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
8685nncnd 10980 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
87 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
8887sumsn 14405 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑘) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ {𝑘} (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
8983, 86, 88syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ {𝑘} (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
9082, 89eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = (2↑𝑘))
91 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
92 disjsn 4216 . . . . . . . . . . . . . 14 (((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = ∅ ↔ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
9391, 92sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = ∅)
9493sumeq1d 14365 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ∅ (2↑𝑛))
9594, 8syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = 0)
9676, 77, 90, 95ifbothda 4095 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0))
9796oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
9875, 97eqtr4d 2658 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)))
9973, 98eqeq12d 2636 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) ↔ (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛))))
10043, 99syl5ibr 236 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1)))))
101100expcom 451 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))))
102101a2d 29 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘))) → (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))))
10317, 24, 31, 38, 42, 102nn0ind 11416 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁))))
104103pm2.43i 52 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁)))
105 id 22 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
106105, 52syl6eleq 2708 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
10764a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
108107, 105nnexpcld 12970 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
109108nnzd 11425 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
110 2z 11353 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
111 uzid 11646 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
112110, 111ax-mp 5 . . . . . . 7 2 ∈ (ℤ‘2)
113 bernneq3 12932 . . . . . . 7 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (2↑𝑁))
114112, 113mpan 705 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑁))
115 elfzo2 12414 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘0) ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑𝑁)))
116106, 109, 114, 115syl3anbrc 1244 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)))
117 bitsfzo 15081 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁)))
11839, 105, 117syl2anc 692 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁)))
119116, 118mpbid 222 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
120 df-ss 3569 . . . 4 ((bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁) ↔ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁)) = (bits‘𝑁))
121119, 120sylib 208 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁)) = (bits‘𝑁))
122121sumeq1d 14365 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑁)(2↑𝑛))
123 nn0re 11245 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
124 2rp 11781 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
125124a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
126125, 39rpexpcld 12972 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
127 nn0ge0 11262 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
128 modid 12635 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑁𝑁 < (2↑𝑁))) → (𝑁 mod (2↑𝑁)) = 𝑁)
129123, 126, 127, 114, 128syl22anc 1324 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 mod (2↑𝑁)) = 𝑁)
130104, 122, 1293eqtr3d 2663 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑁)(2↑𝑛) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cun 3553  cin 3554  wss 3555  c0 3891  ifcif 4058  {csn 4148   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   < clt 10018  cle 10019  cn 10964  2c2 11014  0cn0 11236  cz 11321  cuz 11631  +crp 11776  ..^cfzo 12406   mod cmo 12608  cexp 12800  Σcsu 14350  bitscbits 15065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-dvds 14908  df-bits 15068
This theorem is referenced by:  bitsinv2  15089  bitsf1ocnv  15090  eulerpartlemgc  30202  eulerpartlemgs2  30220
  Copyright terms: Public domain W3C validator