MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsinv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsinv2 15782
Description: There is an explicit inverse to the bits function for nonnegative integers, part 2. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsinv2 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem bitsinv2
Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinel2 4172 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2 2nn0 11903 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
32a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝐴) → 2 ∈ ℕ0)
4 elfpw 8815 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝐴 ⊆ ℕ0𝐴 ∈ Fin))
54simplbi 498 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
65sselda 3966 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ ℕ0)
73, 6nn0expcld 13597 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝐴) → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
81, 7fsumnn0cl 15083 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
9 bitsinv1 15781 . . . 4 𝑛𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0 → Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) = Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))
108, 9syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) = Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))
11 bitsss 15765 . . . . . 6 (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0
1211a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0)
13 bitsfi 15776 . . . . . 6 𝑛𝐴 (2↑𝑛) ∈ ℕ0 → (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
148, 13syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin)
15 elfpw 8815 . . . . 5 ((bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ Fin))
1612, 14, 15sylanbrc 583 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
17 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (2↑𝑛) = (2↑𝑚))
1817cbvsumv 15043 . . . . . 6 Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑚𝑘 (2↑𝑚)
19 sumeq1 15035 . . . . . 6 (𝑘 = (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) → Σ𝑚𝑘 (2↑𝑚) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
2018, 19syl5eq 2868 . . . . 5 (𝑘 = (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) → Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
21 eqid 2821 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛)) = (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))
22 sumex 15034 . . . . 5 Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚) ∈ V
2320, 21, 22fvmpt 6762 . . . 4 ((bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
2416, 23syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))) = Σ𝑚 ∈ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))(2↑𝑚))
25 sumeq1 15035 . . . 4 (𝑘 = 𝐴 → Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛) = Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))
26 sumex 15034 . . . 4 Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛) ∈ V
2725, 21, 26fvmpt 6762 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) = Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))
2810, 24, 273eqtr4d 2866 . 2 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴))
2921ackbijnn 15173 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0
30 f1of1 6608 . . . 4 ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0)
3129, 30mp1i 13 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0)
32 id 22 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
33 f1fveq 7011 . . 3 (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛)):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0 ∧ ((bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) ↔ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
3431, 16, 32, 33syl12anc 832 . 2 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘(bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛))) = ((𝑘 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑛𝑘 (2↑𝑛))‘𝐴) ↔ (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴))
3528, 34mpbid 233 1 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits‘Σ𝑛𝐴 (2↑𝑛)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cin 3934  wss 3935  𝒫 cpw 4537  cmpt 5138  1-1wf1 6346  1-1-ontowf1o 6348  cfv 6349  (class class class)co 7145  Fincfn 8498  2c2 11681  0cn0 11886  cexp 13419  Σcsu 15032  bitscbits 15758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-disj 5024  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-dju 9319  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-xnn0 11957  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-sum 15033  df-dvds 15598  df-bits 15761
This theorem is referenced by:  bitsf1ocnv  15783  2ebits  15786
  Copyright terms: Public domain W3C validator