MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsinvp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsinvp1 15218
Description: Recursive definition of the inverse of the bits function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
bitsinv.k 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
bitsinvp1 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)))

Proof of Theorem bitsinvp1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzonel 12522 . . . . . . 7 ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)
21a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁))
3 disjsn 4278 . . . . . 6 (((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁))
42, 3sylibr 224 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅)
54ineq2d 3847 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∩ {𝑁})) = (𝐴 ∩ ∅))
6 inindi 3863 . . . 4 (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∩ {𝑁})) = ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (𝐴 ∩ {𝑁}))
7 in0 4001 . . . 4 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
85, 6, 73eqtr3g 2708 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (𝐴 ∩ {𝑁})) = ∅)
9 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10 nn0uz 11760 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
119, 10syl6eleq 2740 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
12 fzosplitsn 12616 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
1413ineq2d 3847 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁})))
15 indi 3906 . . . 4 (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁})) = ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∪ (𝐴 ∩ {𝑁}))
1614, 15syl6eq 2701 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∪ (𝐴 ∩ {𝑁})))
17 fzofi 12813 . . . . 5 (0..^(𝑁 + 1)) ∈ Fin
1817a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
19 inss2 3867 . . . 4 (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ (0..^(𝑁 + 1))
20 ssfi 8221 . . . 4 (((0..^(𝑁 + 1)) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ (0..^(𝑁 + 1))) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Fin)
2118, 19, 20sylancl 695 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Fin)
22 2nn 11223 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
2322a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 2 ∈ ℕ)
24 inss1 3866 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ 𝐴
25 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
2624, 25syl5ss 3647 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ ℕ0)
2726sselda 3636 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2823, 27nnexpcld 13070 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
2928nncnd 11074 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
308, 16, 21, 29fsumsplit 14515 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))(2↑𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑘) + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘)))
31 elfpw 8309 . . . 4 ((𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Fin))
3226, 21, 31sylanbrc 699 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
33 bitsinv.k . . . 4 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
3433bitsinv 15217 . . 3 ((𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))(2↑𝑘))
3532, 34syl 17 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))(2↑𝑘))
36 inss1 3866 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐴
3736, 25syl5ss 3647 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
38 fzofi 12813 . . . . . . 7 (0..^𝑁) ∈ Fin
3938a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
40 inss2 3867 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
41 ssfi 8221 . . . . . 6 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
4239, 40, 41sylancl 695 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
43 elfpw 8309 . . . . 5 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
4437, 42, 43sylanbrc 699 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
4533bitsinv 15217 . . . 4 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑘))
4644, 45syl 17 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑘))
47 snssi 4371 . . . . . . . 8 (𝑁𝐴 → {𝑁} ⊆ 𝐴)
4847adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → {𝑁} ⊆ 𝐴)
49 sseqin2 3850 . . . . . . 7 ({𝑁} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ {𝑁}) = {𝑁})
5048, 49sylib 208 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑁}) = {𝑁})
5150sumeq1d 14475 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑁} (2↑𝑘))
52 simpr 476 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁𝐴)
5322a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → 2 ∈ ℕ)
54 simplr 807 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5553, 54nnexpcld 13070 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
5655nncnd 11074 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
57 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (2↑𝑘) = (2↑𝑁))
5857sumsn 14519 . . . . . 6 ((𝑁𝐴 ∧ (2↑𝑁) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑁} (2↑𝑘) = (2↑𝑁))
5952, 56, 58syl2anc 694 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑁} (2↑𝑘) = (2↑𝑁))
6051, 59eqtr2d 2686 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → (2↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘))
61 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁𝐴) → ¬ 𝑁𝐴)
62 disjsn 4278 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁𝐴)
6361, 62sylibr 224 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑁}) = ∅)
6463sumeq1d 14475 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁𝐴) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ ∅ (2↑𝑘))
65 sum0 14496 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ (2↑𝑘) = 0
6664, 65syl6req 2702 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁𝐴) → 0 = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘))
6760, 66ifeqda 4154 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘))
6846, 67oveq12d 6708 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑘) + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘)))
6930, 35, 683eqtr4d 2695 1 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  ifcif 4119  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  ccnv 5142  cres 5145  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cuz 11725  ..^cfzo 12504  cexp 12900  Σcsu 14460  bitscbits 15188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-dvds 15028  df-bits 15191
This theorem is referenced by:  sadcaddlem  15226  sadadd2lem  15228
  Copyright terms: Public domain W3C validator