MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsres 15812
Description: Restrict the bits of a number to an upper integer set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsres ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)) = (bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))))

Proof of Theorem bitsres
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 2nn 11699 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
32a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
4 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
53, 4nnexpcld 13596 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
61, 5zmodcld 13250 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
76nn0zd 12074 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
87znegcld 12078 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
9 sadadd 15806 . . 3 ((-(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘𝐴)) = (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴)))
108, 1, 9syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘𝐴)) = (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴)))
11 sadadd 15806 . . . . . 6 ((-(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℤ) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) = (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))))
128, 7, 11syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) = (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))))
138zcnd 12077 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
147zcnd 12077 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
1513, 14addcomd 10831 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((𝐴 mod (2↑𝑁)) + -(𝐴 mod (2↑𝑁))))
1614negidd 10976 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) + -(𝐴 mod (2↑𝑁))) = 0)
1715, 16eqtrd 2856 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁))) = 0)
1817fveq2d 6668 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))) = (bits‘0))
19 0bits 15778 . . . . . 6 (bits‘0) = ∅
2018, 19syl6eq 2872 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))) = ∅)
2112, 20eqtrd 2856 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) = ∅)
2221oveq1d 7160 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = (∅ sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))))
23 bitsss 15765 . . . . 5 (bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0
24 bitsss 15765 . . . . 5 (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0
25 inss1 4204 . . . . . 6 ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)) ⊆ (bits‘𝐴)
26 bitsss 15765 . . . . . . 7 (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0
2726a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0)
2825, 27sstrid 3977 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)) ⊆ ℕ0)
29 sadass 15810 . . . . 5 (((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0 ∧ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)) ⊆ ℕ0) → (((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)))))
3023, 24, 28, 29mp3an12i 1456 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)))))
31 bitsmod 15775 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))
3231oveq1d 7160 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))))
33 inss1 4204 . . . . . . . . . 10 ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (bits‘𝐴)
3433, 27sstrid 3977 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
35 fzouzdisj 13063 . . . . . . . . . . . 12 ((0..^𝑁) ∩ (ℤ𝑁)) = ∅
3635ineq2i 4185 . . . . . . . . . . 11 ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∩ (ℤ𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ ∅)
37 inindi 4202 . . . . . . . . . . 11 ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∩ (ℤ𝑁))) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∩ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)))
38 in0 4344 . . . . . . . . . . 11 ((bits‘𝐴) ∩ ∅) = ∅
3936, 37, 383eqtr3i 2852 . . . . . . . . . 10 (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∩ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = ∅
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∩ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = ∅)
4134, 28, 40saddisj 15804 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∪ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))))
42 indi 4249 . . . . . . . 8 ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁))) = (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∪ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)))
4341, 42syl6eqr 2874 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁))))
44 nn0uz 12269 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
454, 44eleqtrdi 2923 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
46 fzouzsplit 13062 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁)))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (ℤ‘0) = ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁)))
4844, 47syl5eq 2868 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ℕ0 = ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁)))
4926, 48sseqtrid 4018 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐴) ⊆ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁)))
50 df-ss 3951 . . . . . . . 8 ((bits‘𝐴) ⊆ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁)) ↔ ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁))) = (bits‘𝐴))
5149, 50sylib 219 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ ((0..^𝑁) ∪ (ℤ𝑁))) = (bits‘𝐴))
5243, 51eqtrd 2856 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = (bits‘𝐴))
5332, 52eqtrd 2856 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = (bits‘𝐴))
5453oveq2d 7161 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)))) = ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘𝐴)))
5530, 54eqtrd 2856 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁)))) sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘𝐴)))
56 sadid2 15808 . . . 4 (((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)) ⊆ ℕ0 → (∅ sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)))
5728, 56syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∅ sadd ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)))
5822, 55, 573eqtr3d 2864 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘-(𝐴 mod (2↑𝑁))) sadd (bits‘𝐴)) = ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)))
591zcnd 12077 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
6013, 59addcomd 10831 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴) = (𝐴 + -(𝐴 mod (2↑𝑁))))
6159, 14negsubd 10992 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 + -(𝐴 mod (2↑𝑁))) = (𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))))
6259, 14subcld 10986 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) ∈ ℂ)
635nncnd 11643 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
645nnne0d 11676 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ≠ 0)
6562, 63, 64divcan1d 11406 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) · (2↑𝑁)) = (𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))))
661zred 12076 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
675nnrpd 12419 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
68 moddiffl 13240 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) = (⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))))
6966, 67, 68syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) = (⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))))
7069oveq1d 7160 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) · (2↑𝑁)) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)))
7161, 65, 703eqtr2d 2862 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 + -(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)))
7260, 71eqtrd 2856 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)))
7372fveq2d 6668 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘(-(𝐴 mod (2↑𝑁)) + 𝐴)) = (bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))))
7410, 58, 733eqtr3d 2864 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ𝑁)) = (bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cun 3933  cin 3934  wss 3935  c0 4290  cfv 6349  (class class class)co 7145  cr 10525  0cc0 10526   + caddc 10529   · cmul 10531  cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  cn 11627  2c2 11681  0cn0 11886  cz 11970  cuz 12232  +crp 12379  ..^cfzo 13023  cfl 13150   mod cmo 13227  cexp 13419  bitscbits 15758   sadd csad 15759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-xor 1496  df-tru 1531  df-fal 1541  df-had 1585  df-cad 1599  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-disj 5024  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-dju 9319  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-xnn0 11957  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-sum 15033  df-dvds 15598  df-bits 15761  df-sad 15790
This theorem is referenced by:  bitsuz  15813
  Copyright terms: Public domain W3C validator