MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsss 15075
Description: The set of bits of an integer is a subset of 0. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsss (bits‘𝑁) ⊆ ℕ0

Proof of Theorem bitsss
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsval 15073 . . 3 (𝑚 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
21simp2bi 1075 . 2 (𝑚 ∈ (bits‘𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ0)
32ssriv 3588 1 (bits‘𝑁) ⊆ ℕ0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 1987  wss 3556   class class class wbr 4615  cfv 5849  (class class class)co 6607   / cdiv 10631  2c2 11017  0cn0 11239  cz 11324  cfl 12534  cexp 12803  cdvds 14910  bitscbits 15068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-ov 6610  df-om 7016  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-nn 10968  df-n0 11240  df-bits 15071
This theorem is referenced by:  bitsinv2  15092  bitsf1ocnv  15093  sadaddlem  15115  sadadd  15116  bitsres  15122  bitsshft  15124  smumullem  15141  smumul  15142  eulerpartlemgc  30217  eulerpartlemgvv  30231  eulerpartlemgh  30233  eulerpartlemgs2  30235
  Copyright terms: Public domain W3C validator