Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-bary1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-bary1 32792
Description: Barycentric coordinates in one dimension. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
bj-bary1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
bj-bary1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
bj-bary1.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
bj-bary1.neq (𝜑𝐴𝐵)
bj-bary1.s (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
bj-bary1.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
bj-bary1 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) ↔ (𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)))))

Proof of Theorem bj-bary1
StepHypRef Expression
1 bj-bary1.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
2 bj-bary1.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
31, 2mulcld 10004 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 · 𝐴) ∈ ℂ)
4 bj-bary1.t . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
5 bj-bary1.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
64, 5mulcld 10004 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
73, 6addcomd 10182 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴)))
87eqeq2d 2631 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ↔ 𝑋 = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴))))
98biimpd 219 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) → 𝑋 = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴))))
101, 4addcomd 10182 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 + 𝑇) = (𝑇 + 𝑆))
1110eqeq1d 2623 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 ↔ (𝑇 + 𝑆) = 1))
1211biimpd 219 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → (𝑇 + 𝑆) = 1))
13 bj-bary1.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
14 bj-bary1.neq . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
1514necomd 2845 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐴)
165, 2, 13, 15, 4, 1bj-bary1lem1 32791 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑇 · 𝐵) + (𝑆 · 𝐴)) ∧ (𝑇 + 𝑆) = 1) → 𝑆 = ((𝑋𝐵) / (𝐴𝐵))))
179, 12, 16syl2and 500 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑆 = ((𝑋𝐵) / (𝐴𝐵))))
1813, 5, 2, 5, 14div2subd 10795 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋𝐵) / (𝐴𝐵)) = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)))
1918eqeq2d 2631 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 = ((𝑋𝐵) / (𝐴𝐵)) ↔ 𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴))))
2017, 19sylibd 229 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴))))
212, 5, 13, 14, 1, 4bj-bary1lem1 32791 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
2220, 21jcad 555 . 2 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → (𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)))))
232, 5, 13, 14bj-bary1lem 32790 . . . 4 (𝜑𝑋 = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)))
24 oveq1 6611 . . . . . 6 (𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) → (𝑆 · 𝐴) = (((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴))
25 oveq1 6611 . . . . . 6 (𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) → (𝑇 · 𝐵) = (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵))
2624, 25oveqan12d 6623 . . . . 5 ((𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)))
2726a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵))))
28 eqtr3 2642 . . . 4 ((𝑋 = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)) ∧ ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵))) → 𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
2923, 27, 28syl6an 567 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) → 𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵))))
30 oveq12 6613 . . . 4 ((𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) → (𝑆 + 𝑇) = (((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) + ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
315, 13subcld 10336 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℂ)
3213, 2subcld 10336 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℂ)
335, 2subcld 10336 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
345, 2, 15subne0d 10345 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
3531, 32, 33, 34divdird 10783 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵𝑋) + (𝑋𝐴)) / (𝐵𝐴)) = (((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) + ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
365, 13, 2npncand 10360 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵𝑋) + (𝑋𝐴)) = (𝐵𝐴))
3733, 34, 36diveq1bd 10793 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵𝑋) + (𝑋𝐴)) / (𝐵𝐴)) = 1)
3835, 37eqtr3d 2657 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) + ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) = 1)
3938eqeq2d 2631 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = (((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) + ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) ↔ (𝑆 + 𝑇) = 1))
4030, 39syl5ib 234 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) → (𝑆 + 𝑇) = 1))
4129, 40jcad 555 . 2 (𝜑 → ((𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))) → (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1)))
4222, 41impbid 202 1 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) ↔ (𝑆 = ((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) ∧ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  (class class class)co 6604  cc 9878  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  cmin 10210   / cdiv 10628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator