Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-rest10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-rest10 34274
Description: An elementwise intersection on a nonempty family by the empty set is the singleton on the empty set. TODO: this generalizes rest0 21707 and could replace it. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
bj-rest10 (𝑋𝑉 → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋t ∅) = {∅}))

Proof of Theorem bj-rest10
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5203 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2 elrest 16691 . . . . . 6 ((𝑋𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝑋t ∅) ↔ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅)))
31, 2mpan2 687 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝑥 ∈ (𝑋t ∅) ↔ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅)))
4 in0 4344 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∩ ∅) = ∅
54eqeq2i 2834 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 ∩ ∅) ↔ 𝑥 = ∅)
65rexbii 3247 . . . . . . 7 (∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅) ↔ ∃𝑦𝑋 𝑥 = ∅)
7 df-rex 3144 . . . . . . . 8 (∃𝑦𝑋 𝑥 = ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦𝑋𝑥 = ∅))
8 19.41v 1941 . . . . . . . . 9 (∃𝑦(𝑦𝑋𝑥 = ∅) ↔ (∃𝑦 𝑦𝑋𝑥 = ∅))
9 n0 4309 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝑋)
109bicomi 225 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦 𝑦𝑋𝑋 ≠ ∅)
1110anbi1i 623 . . . . . . . . 9 ((∃𝑦 𝑦𝑋𝑥 = ∅) ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑥 = ∅))
128, 11bitri 276 . . . . . . . 8 (∃𝑦(𝑦𝑋𝑥 = ∅) ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑥 = ∅))
137, 12bitri 276 . . . . . . 7 (∃𝑦𝑋 𝑥 = ∅ ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑥 = ∅))
146, 13bitri 276 . . . . . 6 (∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅) ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑥 = ∅))
1514baib 536 . . . . 5 (𝑋 ≠ ∅ → (∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅) ↔ 𝑥 = ∅))
163, 15sylan9bb 510 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑋t ∅) ↔ 𝑥 = ∅))
17 velsn 4575 . . . 4 (𝑥 ∈ {∅} ↔ 𝑥 = ∅)
1816, 17syl6bbr 290 . . 3 ((𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑋t ∅) ↔ 𝑥 ∈ {∅}))
1918eqrdv 2819 . 2 ((𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅) → (𝑋t ∅) = {∅})
2019ex 413 1 (𝑋𝑉 → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋t ∅) = {∅}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3016  wrex 3139  Vcvv 3495  cin 3934  c0 4290  {csn 4559  (class class class)co 7145  t crest 16684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-rest 16686
This theorem is referenced by:  bj-rest10b  34275
  Copyright terms: Public domain W3C validator