Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-restn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-restn0 33168
Description: An elementwise intersection on a nonempty family is nonempty. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
bj-restn0 ((𝑋𝑉𝐴𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋t 𝐴) ≠ ∅))

Proof of Theorem bj-restn0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3964 . . . 4 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝑋)
2 vex 3234 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
32inex1 4832 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐴) ∈ V
43isseti 3240 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑥 = (𝑦𝐴)
54jctr 564 . . . . . . . 8 (𝑦𝑋 → (𝑦𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥 = (𝑦𝐴)))
65eximi 1802 . . . . . . 7 (∃𝑦 𝑦𝑋 → ∃𝑦(𝑦𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥 = (𝑦𝐴)))
7 df-rex 2947 . . . . . . 7 (∃𝑦𝑋𝑥 𝑥 = (𝑦𝐴) ↔ ∃𝑦(𝑦𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥 = (𝑦𝐴)))
86, 7sylibr 224 . . . . . 6 (∃𝑦 𝑦𝑋 → ∃𝑦𝑋𝑥 𝑥 = (𝑦𝐴))
9 rexcom4 3256 . . . . . 6 (∃𝑦𝑋𝑥 𝑥 = (𝑦𝐴) ↔ ∃𝑥𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦𝐴))
108, 9sylib 208 . . . . 5 (∃𝑦 𝑦𝑋 → ∃𝑥𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦𝐴))
1110a1i 11 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑊) → (∃𝑦 𝑦𝑋 → ∃𝑥𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦𝐴)))
121, 11syl5bi 232 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑥𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦𝐴)))
13 elrest 16135 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝐴𝑊) → (𝑥 ∈ (𝑋t 𝐴) ↔ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦𝐴)))
1413biimprd 238 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑊) → (∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑋t 𝐴)))
1514eximdv 1886 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑊) → (∃𝑥𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑋t 𝐴)))
1612, 15syld 47 . 2 ((𝑋𝑉𝐴𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑋t 𝐴)))
17 n0 3964 . 2 ((𝑋t 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑋t 𝐴))
1816, 17syl6ibr 242 1 ((𝑋𝑉𝐴𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋t 𝐴) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  cin 3606  c0 3948  (class class class)co 6690  t crest 16128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-rest 16130
This theorem is referenced by:  bj-restn0b  33169
  Copyright terms: Public domain W3C validator