Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-restn0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-restn0b 32673
Description: Alternate version of bj-restn0 32672. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
bj-restn0b ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴𝑊) → (𝑋t 𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem bj-restn0b
StepHypRef Expression
1 eldifi 3715 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → 𝑋𝑉)
2 eldifsni 4294 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → 𝑋 ≠ ∅)
31, 2jca 554 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → (𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅))
43anim1i 591 . . 3 ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴𝑊) → ((𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑊))
5 an32 838 . . 3 (((𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑊) ↔ ((𝑋𝑉𝐴𝑊) ∧ 𝑋 ≠ ∅))
64, 5sylib 208 . 2 ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴𝑊) → ((𝑋𝑉𝐴𝑊) ∧ 𝑋 ≠ ∅))
7 bj-restn0 32672 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋t 𝐴) ≠ ∅))
87imp 445 . 2 (((𝑋𝑉𝐴𝑊) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋t 𝐴) ≠ ∅)
96, 8syl 17 1 ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴𝑊) → (𝑋t 𝐴) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1992  wne 2796  cdif 3557  c0 3896  {csn 4153  (class class class)co 6605  t crest 15997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-rest 15999
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator