Theorem bj-restn0b 33169

Description: Alternate version of bj-restn0 33168. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-restn0b	⊢ ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem bj-restn0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3765	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		eldifsni 4353	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → 𝑋 ≠ ∅)
3	1, 2	jca 553	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ ∅))
4	3	anim1i 591	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊))
5		an32 856	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ↔ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ≠ ∅))
6	4, 5	sylib 208	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ≠ ∅))
7		bj-restn0 33168	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅))
8	7	imp 444	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅)
9	6, 8	syl 17	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   ∖ cdif 3604  ∅c0 3948  {csn 4210  (class class class)co 6690   ↾_t crest 16128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-rest 16130

This theorem is referenced by: (None)