Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-restsnss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-restsnss 34268
Description: Special case of bj-restsn 34267. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
bj-restsnss ((𝑌𝑉𝐴𝑌) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝐴})

Proof of Theorem bj-restsnss
StepHypRef Expression
1 sseqin2 4189 . . 3 (𝐴𝑌 ↔ (𝑌𝐴) = 𝐴)
2 sneq 4567 . . 3 ((𝑌𝐴) = 𝐴 → {(𝑌𝐴)} = {𝐴})
31, 2sylbi 218 . 2 (𝐴𝑌 → {(𝑌𝐴)} = {𝐴})
4 ssexg 5218 . . . 4 ((𝐴𝑌𝑌𝑉) → 𝐴 ∈ V)
54ancoms 459 . . 3 ((𝑌𝑉𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ V)
6 bj-restsn 34267 . . 3 ((𝑌𝑉𝐴 ∈ V) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌𝐴)})
75, 6syldan 591 . 2 ((𝑌𝑉𝐴𝑌) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌𝐴)})
8 eqeq2 2830 . . 3 ({(𝑌𝐴)} = {𝐴} → (({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌𝐴)} ↔ ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝐴}))
98biimpa 477 . 2 (({(𝑌𝐴)} = {𝐴} ∧ ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌𝐴)}) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝐴})
103, 7, 9syl2an2 682 1 ((𝑌𝑉𝐴𝑌) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933  {csn 4557  (class class class)co 7145  t crest 16682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-rest 16684
This theorem is referenced by:  bj-restsn10  34271  bj-restsnid  34272
  Copyright terms: Public domain W3C validator