Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-restv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-restv 33352
Description: An elementwise intersection by a subset on a family containing the whole set contains the whole subset. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
bj-restv ((𝐴 𝑋 𝑋𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑋t 𝐴))

Proof of Theorem bj-restv
StepHypRef Expression
1 uniexr 7135 . . 3 ( 𝑋𝑋𝑋 ∈ V)
21adantl 473 . 2 ((𝐴 𝑋 𝑋𝑋) → 𝑋 ∈ V)
3 bj-restb 33351 . 2 (𝑋 ∈ V → ((𝐴 𝑋 𝑋𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑋t 𝐴)))
42, 3mpcom 38 1 ((𝐴 𝑋 𝑋𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑋t 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2137  Vcvv 3338  wss 3713   cuni 4586  (class class class)co 6811  t crest 16281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-id 5172  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-rest 16283
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator