Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bl2ioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bl2ioo 22498
 Description: A ball in terms of an open interval of reals. (Contributed by NM, 18-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
remet.1 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
bl2ioo ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) = ((𝐴𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem bl2ioo
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . . . . . . . 10 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
21remetdval 22495 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝑥) = (abs‘(𝐴𝑥)))
3 recn 9971 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4 recn 9971 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
5 abssub 13995 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴𝑥)) = (abs‘(𝑥𝐴)))
63, 4, 5syl2an 494 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴𝑥)) = (abs‘(𝑥𝐴)))
72, 6eqtrd 2660 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥𝐴)))
87breq1d 4628 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐷𝑥) < 𝐵 ↔ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵))
98adantlr 750 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐷𝑥) < 𝐵 ↔ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵))
10 absdiflt 13986 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵 ↔ ((𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
11103expb 1263 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵 ↔ ((𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
1211ancoms 469 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵 ↔ ((𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
139, 12bitrd 268 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐷𝑥) < 𝐵 ↔ ((𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
1413pm5.32da 672 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝑥) < 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵)))))
15 3anass 1040 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
1614, 15syl6bbr 278 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝑥) < 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
17 rexr 10030 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
181rexmet 22497 . . . . 5 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
19 elbl 22098 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝑥) < 𝐵)))
2018, 19mp3an1 1408 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝑥) < 𝐵)))
2117, 20sylan2 491 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝑥) < 𝐵)))
22 resubcl 10290 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
23 readdcl 9964 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
24 rexr 10030 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∈ ℝ → (𝐴𝐵) ∈ ℝ*)
25 rexr 10030 . . . . 5 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ*)
26 elioo2 12155 . . . . 5 (((𝐴𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝐴𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
2724, 25, 26syl2an 494 . . . 4 (((𝐴𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
2822, 23, 27syl2anc 692 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
2916, 21, 283bitr4d 300 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵))))
3029eqrdv 2624 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) = ((𝐴𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   class class class wbr 4618   × cxp 5077   ↾ cres 5081   ∘ ccom 5083  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  ℂcc 9879  ℝcr 9880   + caddc 9884  ℝ*cxr 10018   < clt 10019   − cmin 10211  (,)cioo 12114  abscabs 13903  ∞Metcxmt 19645  ballcbl 19647 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-xadd 11891  df-ioo 12118  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655 This theorem is referenced by:  ioo2bl  22499  blssioo  22501  tgioo  22502  iccntr  22527  icccmplem2  22529  reconnlem2  22533  opnreen  22537  lebnumii  22668  opnmbllem  23270  lhop  23678  dvcnvre  23681  dya2icoseg2  30113  opnrebl  31949  opnrebl2  31950  opnmbllem0  33063  iooabslt  39119
 Copyright terms: Public domain W3C validator