MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blcntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blcntr 22123
Description: A ball contains its center. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blcntr ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))

Proof of Theorem blcntr
StepHypRef Expression
1 rpxr 11784 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ*)
2 rpgt0 11788 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑅)
31, 2jca 554 . 2 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅))
4 xblcntr 22121 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋 ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
53, 4syl3an3 1358 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036  wcel 1992   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  0cc0 9881  *cxr 10018   < clt 10019  +crp 11776  ∞Metcxmt 19645  ballcbl 19647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-map 7805  df-xr 10023  df-rp 11777  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-bl 19655
This theorem is referenced by:  bln0  22125  unirnbl  22130  blssex  22137  neibl  22211  blnei  22212  metss  22218  methaus  22230  met1stc  22231  met2ndci  22232  metrest  22234  prdsxmslem2  22239  metcnp3  22250  tgioo  22502  zdis  22522  metnrmlem2  22566  cnllycmp  22658  nmhmcn  22823  lmmbr  22959  cfilfcls  22975  iscmet3lem2  22993  caubl  23009  caublcls  23010  flimcfil  23015  ellimc3  23544  ulmdvlem1  24053  efopn  24299  logtayl  24301  xrlimcnp  24590  efrlim  24591  lgamucov  24659  cnllysconn  30927  poimirlem30  33057  blbnd  33204  heibor1lem  33226  heibor1  33227  binomcxplemnotnn0  38023  hoiqssbl  40133
  Copyright terms: Public domain W3C validator