MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blcntrps Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blcntrps 22264
Description: A ball contains its center. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
blcntrps ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))

Proof of Theorem blcntrps
StepHypRef Expression
1 rpxr 11878 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ*)
2 rpgt0 11882 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑅)
31, 2jca 553 . 2 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅))
4 xblcntrps 22262 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋 ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
53, 4syl3an3 1401 1 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  *cxr 10111   < clt 10112  +crp 11870  PsMetcpsmet 19778  ballcbl 19781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-map 7901  df-xr 10116  df-rp 11871  df-psmet 19786  df-bl 19789
This theorem is referenced by:  unirnblps  22271  blssexps  22278  ioorrnopnlem  40842
  Copyright terms: Public domain W3C validator