Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  blen1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blen1b 41700
 Description: The binary length of a nonnegative integer is 1 if the integer is 0 or 1. (Contributed by AV, 30-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
blen1b (𝑁 ∈ ℕ0 → ((#b𝑁) = 1 ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))

Proof of Theorem blen1b
StepHypRef Expression
1 elnn0 11246 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 blennn 41687 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
32eqeq1d 2623 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((#b𝑁) = 1 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) = 1))
4 2rp 11789 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ+
54a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
6 nnrp 11794 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
7 1ne2 11192 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≠ 2
87necomi 2844 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 1
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 1)
10 relogbcl 24428 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
115, 6, 9, 10syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
1211flcld 12547 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
1312zcnd 11435 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℂ)
14 1cnd 10008 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
1513, 14, 14addlsub 10399 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) = 1 ↔ (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (1 − 1)))
16 1m1e0 11041 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1 − 1) = 0)
1817eqeq2d 2631 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) = (1 − 1) ↔ (⌊‘(2 logb 𝑁)) = 0))
19 0z 11340 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
20 flbi 12565 . . . . . . . 8 (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) = 0 ↔ (0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < (0 + 1))))
2111, 19, 20sylancl 693 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) = 0 ↔ (0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < (0 + 1))))
2215, 18, 213bitrd 294 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) = 1 ↔ (0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < (0 + 1))))
23 0p1e1 11084 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
2423breq2i 4626 . . . . . . . 8 ((2 logb 𝑁) < (0 + 1) ↔ (2 logb 𝑁) < 1)
2524anbi2i 729 . . . . . . 7 ((0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < (0 + 1)) ↔ (0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1))
26 nnlog2ge0lt1 41678 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ↔ (0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1)))
2726biimpar 502 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1)) → 𝑁 = 1)
2827olcd 408 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1)) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
2928ex 450 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
3025, 29syl5bi 232 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < (0 + 1)) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
3122, 30sylbid 230 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
323, 31sylbid 230 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((#b𝑁) = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
33 orc 400 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
3433a1d 25 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((#b𝑁) = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
3532, 34jaoi 394 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → ((#b𝑁) = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
361, 35sylbi 207 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((#b𝑁) = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
37 fveq2 6153 . . . 4 (𝑁 = 0 → (#b𝑁) = (#b‘0))
38 blen0 41684 . . . 4 (#b‘0) = 1
3937, 38syl6eq 2671 . . 3 (𝑁 = 0 → (#b𝑁) = 1)
40 fveq2 6153 . . . 4 (𝑁 = 1 → (#b𝑁) = (#b‘1))
41 blen1 41696 . . . 4 (#b‘1) = 1
4240, 41syl6eq 2671 . . 3 (𝑁 = 1 → (#b𝑁) = 1)
4339, 42jaoi 394 . 2 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) → (#b𝑁) = 1)
4436, 43impbid1 215 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((#b𝑁) = 1 ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   class class class wbr 4618  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  ℝcr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   < clt 10026   ≤ cle 10027   − cmin 10218  ℕcn 10972  2c2 11022  ℕ0cn0 11244  ℤcz 11329  ℝ+crp 11784  ⌊cfl 12539   logb clogb 24419  #bcblen 41681 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ioc 12130  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-shft 13749  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-limsup 14144  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-ef 14734  df-sin 14736  df-cos 14737  df-pi 14739  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-lp 20863  df-perf 20864  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-haus 21042  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-cncf 22604  df-limc 23553  df-dv 23554  df-log 24224  df-logb 24420  df-blen 41682 This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglem2  41734
 Copyright terms: Public domain W3C validator