MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blocn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blocn2 27524
Description: A bounded linear operator is continuous. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blocn.8 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
blocn.d 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
blocn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
blocn.k 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
blocn.5 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
blocn.u 𝑈 ∈ NrmCVec
blocn.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
blocn2 (𝑇𝐵𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem blocn2
StepHypRef Expression
1 blocn.u . . 3 𝑈 ∈ NrmCVec
2 blocn.w . . 3 𝑊 ∈ NrmCVec
3 eqid 2621 . . . 4 (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
4 blocn.5 . . . 4 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
53, 4bloln 27500 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
61, 2, 5mp3an12 1411 . 2 (𝑇𝐵𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
7 blocn.8 . . . 4 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
8 blocn.d . . . 4 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
9 blocn.j . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
10 blocn.k . . . 4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
117, 8, 9, 10, 4, 1, 2, 3blocn 27523 . . 3 (𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) → (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇𝐵))
1211biimprd 238 . 2 (𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) → (𝑇𝐵𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
136, 12mpcom 38 1 (𝑇𝐵𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5849  (class class class)co 6607  MetOpencmopn 19658   Cn ccn 20941  NrmCVeccnv 27300  IndMetcims 27307   LnOp clno 27456   BLnOp cblo 27458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961  ax-addf 9962  ax-mulf 9963
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-map 7807  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-sup 8295  df-inf 8296  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-q 11736  df-rp 11780  df-xneg 11893  df-xadd 11894  df-xmul 11895  df-seq 12745  df-exp 12804  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-topgen 16028  df-psmet 19660  df-xmet 19661  df-met 19662  df-bl 19663  df-mopn 19664  df-top 20621  df-topon 20638  df-bases 20664  df-cn 20944  df-cnp 20945  df-grpo 27208  df-gid 27209  df-ginv 27210  df-gdiv 27211  df-ablo 27260  df-vc 27275  df-nv 27308  df-va 27311  df-ba 27312  df-sm 27313  df-0v 27314  df-vs 27315  df-nmcv 27316  df-ims 27317  df-lno 27460  df-nmoo 27461  df-blo 27462  df-0o 27463
This theorem is referenced by:  ubthlem1  27587  ubthlem2  27588
  Copyright terms: Public domain W3C validator