MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bloln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bloln 27969
Description: A bounded operator is a linear operator. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bloln.4 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
bloln.5 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
Assertion
Ref Expression
bloln ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇𝐿)

Proof of Theorem bloln
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . . 4 (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
2 bloln.4 . . . 4 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
3 bloln.5 . . . 4 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
41, 2, 3isblo 27967 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)))
54simprbda 654 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇𝐿)
653impa 1101 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  +∞cpnf 10283   < clt 10286  NrmCVeccnv 27769   LnOp clno 27925   normOpOLD cnmoo 27926   BLnOp cblo 27927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-blo 27931
This theorem is referenced by:  blof  27970  nmblolbii  27984  isblo3i  27986  blometi  27988  blocn2  27993  ubthlem2  28057
  Copyright terms: Public domain W3C validator