Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blometi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blometi 27528
 Description: Upper bound for the distance between the values of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blometi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
blometi.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
blometi.8 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
blometi.d 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
blometi.6 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
blometi.7 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
blometi.u 𝑈 ∈ NrmCVec
blometi.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
blometi ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → ((𝑇𝑃)𝐷(𝑇𝑄)) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝑃𝐶𝑄)))

Proof of Theorem blometi
StepHypRef Expression
1 blometi.u . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
2 blometi.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 eqid 2621 . . . . . 6 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
42, 3nvmcl 27371 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑃( −𝑣𝑈)𝑄) ∈ 𝑋)
51, 4mp3an1 1408 . . . 4 ((𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑃( −𝑣𝑈)𝑄) ∈ 𝑋)
6 eqid 2621 . . . . 5 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
7 eqid 2621 . . . . 5 (normCV𝑊) = (normCV𝑊)
8 blometi.6 . . . . 5 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
9 blometi.7 . . . . 5 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
10 blometi.w . . . . 5 𝑊 ∈ NrmCVec
112, 6, 7, 8, 9, 1, 10nmblolbi 27525 . . . 4 ((𝑇𝐵 ∧ (𝑃( −𝑣𝑈)𝑄) ∈ 𝑋) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))) ≤ ((𝑁𝑇) · ((normCV𝑈)‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))))
125, 11sylan2 491 . . 3 ((𝑇𝐵 ∧ (𝑃𝑋𝑄𝑋)) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))) ≤ ((𝑁𝑇) · ((normCV𝑈)‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))))
13123impb 1257 . 2 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))) ≤ ((𝑁𝑇) · ((normCV𝑈)‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))))
14 blometi.2 . . . . . . . 8 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
152, 14, 9blof 27510 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇:𝑋𝑌)
161, 10, 15mp3an12 1411 . . . . . 6 (𝑇𝐵𝑇:𝑋𝑌)
1716ffvelrnda 6320 . . . . 5 ((𝑇𝐵𝑃𝑋) → (𝑇𝑃) ∈ 𝑌)
18173adant3 1079 . . . 4 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑇𝑃) ∈ 𝑌)
1916ffvelrnda 6320 . . . . 5 ((𝑇𝐵𝑄𝑋) → (𝑇𝑄) ∈ 𝑌)
20193adant2 1078 . . . 4 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑇𝑄) ∈ 𝑌)
21 eqid 2621 . . . . . 6 ( −𝑣𝑊) = ( −𝑣𝑊)
22 blometi.d . . . . . 6 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
2314, 21, 7, 22imsdval 27411 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑃) ∈ 𝑌 ∧ (𝑇𝑄) ∈ 𝑌) → ((𝑇𝑃)𝐷(𝑇𝑄)) = ((normCV𝑊)‘((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄))))
2410, 23mp3an1 1408 . . . 4 (((𝑇𝑃) ∈ 𝑌 ∧ (𝑇𝑄) ∈ 𝑌) → ((𝑇𝑃)𝐷(𝑇𝑄)) = ((normCV𝑊)‘((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄))))
2518, 20, 24syl2anc 692 . . 3 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → ((𝑇𝑃)𝐷(𝑇𝑄)) = ((normCV𝑊)‘((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄))))
26 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
2726, 9bloln 27509 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
281, 10, 27mp3an12 1411 . . . . 5 (𝑇𝐵𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
292, 3, 21, 26lnosub 27484 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ (𝑃𝑋𝑄𝑋)) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄)) = ((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄)))
301, 29mp3anl1 1415 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ (𝑃𝑋𝑄𝑋)) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄)) = ((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄)))
3110, 30mpanl1 715 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) ∧ (𝑃𝑋𝑄𝑋)) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄)) = ((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄)))
32313impb 1257 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄)) = ((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄)))
3328, 32syl3an1 1356 . . . 4 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄)) = ((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄)))
3433fveq2d 6157 . . 3 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))) = ((normCV𝑊)‘((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄))))
3525, 34eqtr4d 2658 . 2 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → ((𝑇𝑃)𝐷(𝑇𝑄)) = ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))))
36 blometi.8 . . . . . 6 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
372, 3, 6, 36imsdval 27411 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑃𝐶𝑄) = ((normCV𝑈)‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄)))
381, 37mp3an1 1408 . . . 4 ((𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑃𝐶𝑄) = ((normCV𝑈)‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄)))
39383adant1 1077 . . 3 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑃𝐶𝑄) = ((normCV𝑈)‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄)))
4039oveq2d 6626 . 2 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → ((𝑁𝑇) · (𝑃𝐶𝑄)) = ((𝑁𝑇) · ((normCV𝑈)‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))))
4113, 35, 403brtr4d 4650 1 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → ((𝑇𝑃)𝐷(𝑇𝑄)) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝑃𝐶𝑄)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4618  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610   · cmul 9893   ≤ cle 10027  NrmCVeccnv 27309  BaseSetcba 27311   −𝑣 cnsb 27314  normCVcnmcv 27315  IndMetcims 27316   LnOp clno 27465   normOpOLD cnmoo 27466   BLnOp cblo 27467 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-sup 8300  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-grpo 27217  df-gid 27218  df-ginv 27219  df-gdiv 27220  df-ablo 27269  df-vc 27284  df-nv 27317  df-va 27320  df-ba 27321  df-sm 27322  df-0v 27323  df-vs 27324  df-nmcv 27325  df-ims 27326  df-lno 27469  df-nmoo 27470  df-blo 27471  df-0o 27472 This theorem is referenced by:  blocni  27530
 Copyright terms: Public domain W3C validator