Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blpnf 22121
 Description: The infinity ball in a standard metric is just the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
blpnf ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑋)

Proof of Theorem blpnf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metxmet 22058 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 xblpnf 22120 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
31, 2sylan 488 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
4 metcl 22056 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑥𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)
543expia 1264 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑥𝑋 → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ))
65pm4.71d 665 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑥𝑋 ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
73, 6bitr4d 271 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ 𝑥𝑋))
87eqrdv 2619 1 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  ℝcr 9886  +∞cpnf 10022  ∞Metcxmt 19659  Metcme 19660  ballcbl 19661 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-2 11030  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669 This theorem is referenced by:  blssioo  22517  sblpnf  38018
 Copyright terms: Public domain W3C validator