MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blssm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blssm 22133
Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blssm ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem blssm
StepHypRef Expression
1 blf 22122 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
2 fovrn 6757 . . 3 (((ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
31, 2syl3an1 1356 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
43elpwid 4141 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036  wcel 1987  wss 3555  𝒫 cpw 4130   × cxp 5072  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  *cxr 10017  ∞Metcxmt 19650  ballcbl 19652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-map 7804  df-xr 10022  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-bl 19660
This theorem is referenced by:  blpnfctr  22151  xmetresbl  22152  imasf1oxms  22204  prdsbl  22206  blcld  22220  blcls  22221  prdsxmslem2  22244  metcnp  22256  cnllycmp  22663  lebnumlem3  22670  lebnum  22671  cfil3i  22975  iscfil3  22979  cfilfcls  22980  iscmet3lem2  22998  equivcfil  23005  caublcls  23015  relcmpcmet  23023  cmpcmet  23024  cncmet  23027  bcthlem2  23030  bcthlem4  23032  dvlip2  23662  dv11cn  23668  pserdvlem2  24086  pserdv  24087  abelthlem3  24091  abelthlem5  24093  dvlog2lem  24298  dvlog2  24299  efopnlem2  24303  efopn  24304  logtayl  24306  efrlim  24596  blsconn  30934  sstotbnd2  33205  equivtotbnd  33209  isbnd2  33214  blbnd  33218  totbndbnd  33220  prdstotbnd  33225  prdsbnd2  33226  ismtyima  33234  heiborlem3  33244  heiborlem8  33249
  Copyright terms: Public domain W3C validator