Theorem blssm 23030

Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blssm	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem blssm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blf 23019	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
2		fovrn 7320	. . 3 ⊢ (((ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
3	1, 2	syl3an1 1159	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
4	3	elpwid 4552	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3938  𝒫 cpw 4541   × cxp 5555  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℝ^*cxr 10676  ∞Metcxmet 20532  ballcbl 20534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-map 8410  df-xr 10681  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-bl 20542

This theorem is referenced by:  blpnfctr  23048  xmetresbl  23049  imasf1oxms  23101  prdsbl  23103  blcld  23117  blcls  23118  prdsxmslem2  23141  metcnp  23153  cnllycmp  23562  lebnumlem3  23569  lebnum  23570  cfil3i  23874  iscfil3  23878  cfilfcls  23879  iscmet3lem2  23897  equivcfil  23904  caublcls  23914  relcmpcmet  23923  cmpcmet  23924  cncmet  23927  bcthlem2  23930  bcthlem4  23932  dvlip2  24594  dv11cn  24600  pserdvlem2  25018  pserdv  25019  abelthlem3  25023  abelthlem5  25025  dvlog2lem  25237  dvlog2  25238  efopnlem2  25242  efopn  25243  logtayl  25245  efrlim  25549  blsconn  32493  sstotbnd2  35054  equivtotbnd  35058  isbnd2  35063  blbnd  35067  totbndbnd  35069  prdstotbnd  35074  prdsbnd2  35075  ismtyima  35083  heiborlem3  35093  heiborlem8  35098