Theorem bndatandm 25501

Description: A point in the open unit disk is in the domain of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bndatandm	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 𝐴 ∈ dom arctan)

Proof of Theorem bndatandm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqcl 13478	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3	2	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
4	3	abscld 14790	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(𝐴↑2)) ∈ ℝ)
5		2nn0 11908	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		absexp 14658	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑2)) = ((abs‘𝐴)↑2))
7	1, 5, 6	sylancl 588	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(𝐴↑2)) = ((abs‘𝐴)↑2))
8		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) < 1)
9		abscl 14632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11		1red 10636	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 1 ∈ ℝ)
12		absge0 14641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
13	12	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
14		0le1 11157	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 0 ≤ 1)
16	10, 11, 13, 15	lt2sqd 13613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ ((abs‘𝐴)↑2) < (1↑2)))
17	8, 16	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → ((abs‘𝐴)↑2) < (1↑2))
18		sq1 13552	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
19	17, 18	breqtrdi 5100	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → ((abs‘𝐴)↑2) < 1)
20	7, 19	eqbrtrd 5081	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(𝐴↑2)) < 1)
21	4, 20	ltned 10770	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(𝐴↑2)) ≠ 1)
22		fveq2 6665	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) = -1 → (abs‘(𝐴↑2)) = (abs‘-1))
23		ax-1cn 10589	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24	23	absnegi 14754	. . . . . 6 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
25		abs1 14651	. . . . . 6 ⊢ (abs‘1) = 1
26	24, 25	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ (abs‘-1) = 1
27	22, 26	syl6eq 2872	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑2) = -1 → (abs‘(𝐴↑2)) = 1)
28	27	necon3i 3048	. . 3 ⊢ ((abs‘(𝐴↑2)) ≠ 1 → (𝐴↑2) ≠ -1)
29	21, 28	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (𝐴↑2) ≠ -1)
30		atandm3 25450	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ≠ -1))
31	1, 29, 30	sylanbrc 585	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 𝐴 ∈ dom arctan)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   class class class wbr 5059  dom cdm 5550  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   < clt 10669   ≤ cle 10670  -cneg 10865  2c2 11686  ℕ₀cn0 11891  ↑cexp 13423  abscabs 14587  arctancatan 25436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-atan 25439

This theorem is referenced by:  atantayl  25509  log2cnv  25516