MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bndth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bndth 22496
Description: The Boundedness Theorem. A continuous function from a compact topological space to the reals is bounded (above). (Boundedness below is obtained by applying this theorem to -𝐹.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bndth.1 𝑋 = 𝐽
bndth.2 𝐾 = (topGen‘ran (,))
bndth.3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
bndth.4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
bndth (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝐹𝑦) ≤ 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑦,𝐾   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem bndth
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bndth.4 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2 bndth.1 . . . . . 6 𝑋 = 𝐽
3 bndth.2 . . . . . . . 8 𝐾 = (topGen‘ran (,))
4 retopon 22309 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
53, 4eqeltri 2683 . . . . . . 7 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
65toponunii 20489 . . . . . 6 ℝ = 𝐾
72, 6cnf 20802 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
81, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
9 frn 5952 . . . 4 (𝐹:𝑋⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
11 imassrn 5383 . . . . . 6 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ ran (,)
12 retopbas 22306 . . . . . . . 8 ran (,) ∈ TopBases
13 bastg 20523 . . . . . . . 8 (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
1514, 3sseqtr4i 3600 . . . . . 6 ran (,) ⊆ 𝐾
1611, 15sstri 3576 . . . . 5 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ 𝐾
17 retop 22307 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
183, 17eqeltri 2683 . . . . . . 7 𝐾 ∈ Top
1918elexi 3185 . . . . . 6 𝐾 ∈ V
2019elpw2 4750 . . . . 5 (((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∈ 𝒫 𝐾 ↔ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ 𝐾)
2116, 20mpbir 219 . . . 4 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∈ 𝒫 𝐾
22 bndth.3 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
23 rncmp 20951 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐾t ran 𝐹) ∈ Comp)
2422, 1, 23syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾t ran 𝐹) ∈ Comp)
256cmpsub 20955 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ) → ((𝐾t ran 𝐹) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐾(ran 𝐹 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣)))
2618, 10, 25sylancr 693 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾t ran 𝐹) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐾(ran 𝐹 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣)))
2724, 26mpbid 220 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐾(ran 𝐹 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣))
28 unieq 4374 . . . . . . . 8 (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → 𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
2911unissi 4391 . . . . . . . . . 10 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ ran (,)
30 unirnioo 12100 . . . . . . . . . 10 ℝ = ran (,)
3129, 30sseqtr4i 3600 . . . . . . . . 9 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ ℝ
32 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
33 ltp1 10710 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < (𝑥 + 1))
34 ressxr 9939 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℝ*
35 peano2re 10060 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
3634, 35sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
37 elioomnf 12095 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 + 1) ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)(𝑥 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1))))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (-∞(,)(𝑥 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1))))
3932, 33, 38mpbir2and 958 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝑥 + 1)))
40 df-ov 6530 . . . . . . . . . . . 12 (-∞(,)(𝑥 + 1)) = ((,)‘⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩)
41 mnfxr 11783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -∞ ∈ ℝ*
4241elexi 3185 . . . . . . . . . . . . . . 15 -∞ ∈ V
4342snid 4154 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ ∈ {-∞}
44 opelxpi 5062 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞ ∈ {-∞} ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩ ∈ ({-∞} × ℝ))
4543, 35, 44sylancr 693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → ⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩ ∈ ({-∞} × ℝ))
46 ioof 12098 . . . . . . . . . . . . . . 15 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
47 ffun 5947 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 Fun (,)
49 snssi 4279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞ ∈ ℝ* → {-∞} ⊆ ℝ*)
5041, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {-∞} ⊆ ℝ*
51 xpss12 5137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (({-∞} ⊆ ℝ* ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → ({-∞} × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
5250, 34, 51mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({-∞} × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
5346fdmi 5951 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
5452, 53sseqtr4i 3600 . . . . . . . . . . . . . 14 ({-∞} × ℝ) ⊆ dom (,)
55 funfvima2 6375 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun (,) ∧ ({-∞} × ℝ) ⊆ dom (,)) → (⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩ ∈ ({-∞} × ℝ) → ((,)‘⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))))
5648, 54, 55mp2an 703 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩ ∈ ({-∞} × ℝ) → ((,)‘⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
5745, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → ((,)‘⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
5840, 57syl5eqel 2691 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (-∞(,)(𝑥 + 1)) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
59 elunii 4371 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (-∞(,)(𝑥 + 1)) ∧ (-∞(,)(𝑥 + 1)) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))) → 𝑥 ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
6039, 58, 59syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
6160ssriv 3571 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ((,) “ ({-∞} × ℝ))
6231, 61eqssi 3583 . . . . . . . 8 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) = ℝ
6328, 62syl6eq 2659 . . . . . . 7 (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → 𝑢 = ℝ)
6463sseq2d 3595 . . . . . 6 (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → (ran 𝐹 𝑢 ↔ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
65 pweq 4110 . . . . . . . 8 (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → 𝒫 𝑢 = 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
6665ineq1d 3774 . . . . . . 7 (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → (𝒫 𝑢 ∩ Fin) = (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin))
6766rexeqdv 3121 . . . . . 6 (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣))
6864, 67imbi12d 332 . . . . 5 (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → ((ran 𝐹 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣) ↔ (ran 𝐹 ⊆ ℝ → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣)))
6968rspcv 3277 . . . 4 (((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∈ 𝒫 𝐾 → (∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐾(ran 𝐹 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣) → (ran 𝐹 ⊆ ℝ → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣)))
7021, 27, 69mpsyl 65 . . 3 (𝜑 → (ran 𝐹 ⊆ ℝ → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣))
7110, 70mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣)
72 simpr 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin))
73 elin 3757 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ↔ (𝑣 ∈ 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
7472, 73sylib 206 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → (𝑣 ∈ 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
7574adantrr 748 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) → (𝑣 ∈ 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
7675simprd 477 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) → 𝑣 ∈ Fin)
7774simpld 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → 𝑣 ∈ 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
7877elpwid 4117 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → 𝑣 ⊆ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
7950sseli 3563 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ {-∞} → 𝑢 ∈ ℝ*)
8079adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑢 ∈ ℝ*)
8134sseli 3563 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℝ*)
8281adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ*)
83 mnflt 11794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℝ → -∞ < 𝑤)
84 xrltnle 9956 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ -∞))
8541, 81, 84sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ -∞))
8683, 85mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℝ → ¬ 𝑤 ≤ -∞)
8786adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ¬ 𝑤 ≤ -∞)
88 elsni 4141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 ∈ {-∞} → 𝑢 = -∞)
8988adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑢 = -∞)
9089breq2d 4589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤𝑢𝑤 ≤ -∞))
9187, 90mtbird 313 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ¬ 𝑤𝑢)
92 ioo0 12027 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝑢(,)𝑤) = ∅ ↔ 𝑤𝑢))
9379, 81, 92syl2an 492 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝑢(,)𝑤) = ∅ ↔ 𝑤𝑢))
9493necon3abid 2817 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝑢(,)𝑤) ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑤𝑢))
9591, 94mpbird 245 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑢(,)𝑤) ≠ ∅)
96 df-ioo 12006 . . . . . . . . . . . 12 (,) = (𝑦 ∈ ℝ*, 𝑧 ∈ ℝ* ↦ {𝑣 ∈ ℝ* ∣ (𝑦 < 𝑣𝑣 < 𝑧)})
97 idd 24 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑤𝑥 < 𝑤))
98 xrltle 11817 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑤𝑥𝑤))
99 idd 24 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑢 < 𝑥𝑢 < 𝑥))
100 xrltle 11817 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑢 < 𝑥𝑢𝑥))
10196, 97, 98, 99, 100ixxub 12023 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* ∧ (𝑢(,)𝑤) ≠ ∅) → sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) = 𝑤)
10280, 82, 95, 101syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) = 𝑤)
103 simpr 475 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
104102, 103eqeltrd 2687 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
105104rgen2 2957 . . . . . . . 8 𝑢 ∈ {-∞}∀𝑤 ∈ ℝ sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) ∈ ℝ
106 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑧) = ((,)‘⟨𝑢, 𝑤⟩))
107 df-ov 6530 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢(,)𝑤) = ((,)‘⟨𝑢, 𝑤⟩)
108106, 107syl6eqr 2661 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑧) = (𝑢(,)𝑤))
109108supeq1d 8212 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑤⟩ → sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) = sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ))
110109eleq1d 2671 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑤⟩ → (sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
111110ralxp 5173 . . . . . . . 8 (∀𝑧 ∈ ({-∞} × ℝ)sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∀𝑢 ∈ {-∞}∀𝑤 ∈ ℝ sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
112105, 111mpbir 219 . . . . . . 7 𝑧 ∈ ({-∞} × ℝ)sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ
113 ffn 5944 . . . . . . . . 9 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
11446, 113ax-mp 5 . . . . . . . 8 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
115 supeq1 8211 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = ((,)‘𝑧) → sup(𝑤, ℝ*, < ) = sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ))
116115eleq1d 2671 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ((,)‘𝑧) → (sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
117116ralima 6380 . . . . . . . 8 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ({-∞} × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (∀𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∀𝑧 ∈ ({-∞} × ℝ)sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
118114, 52, 117mp2an 703 . . . . . . 7 (∀𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∀𝑧 ∈ ({-∞} × ℝ)sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
119112, 118mpbir 219 . . . . . 6 𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ
120 ssralv 3628 . . . . . 6 (𝑣 ⊆ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → (∀𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ → ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ))
12178, 119, 120mpisyl 21 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
122121adantrr 748 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) → ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
123 fimaxre3 10819 . . . 4 ((𝑣 ∈ Fin ∧ ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
12476, 122, 123syl2anc 690 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
125 simplrr 796 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ran 𝐹 𝑣)
126125sselda 3567 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → 𝑧 𝑣)
127 eluni2 4370 . . . . . . . 8 (𝑧 𝑣 ↔ ∃𝑤𝑣 𝑧𝑤)
128 r19.29r 3054 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑤𝑣 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → ∃𝑤𝑣 (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
129 sspwuni 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ ℝ)
13031, 129mpbir 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ
131783ad2ant1 1074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑣 ⊆ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
132 simp2r 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤𝑣)
133131, 132sseldd 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
134130, 133sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ∈ 𝒫 ℝ)
135134elpwid 4117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ⊆ ℝ)
136 simp3l 1081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑧𝑤)
137135, 136sseldd 3568 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑧 ∈ ℝ)
138121r19.21bi 2915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ 𝑤𝑣) → sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
139138adantrl 747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣)) → sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
1401393adant3 1073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
141 simp2l 1079 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
142135, 34syl6ss 3579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ⊆ ℝ*)
143 supxrub 11982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ⊆ ℝ*𝑧𝑤) → 𝑧 ≤ sup(𝑤, ℝ*, < ))
144142, 136, 143syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑧 ≤ sup(𝑤, ℝ*, < ))
145 simp3r 1082 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
146137, 140, 141, 144, 145letrd 10045 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑧𝑥)
1471463expia 1258 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣)) → ((𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧𝑥))
148147anassrs 677 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑤𝑣) → ((𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧𝑥))
149148rexlimdva 3012 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑤𝑣 (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧𝑥))
150149adantlrr 752 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑤𝑣 (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧𝑥))
151128, 150syl5 33 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((∃𝑤𝑣 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧𝑥))
152151expdimp 451 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑤𝑣 𝑧𝑤) → (∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥𝑧𝑥))
153127, 152sylan2b 490 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 𝑣) → (∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥𝑧𝑥))
154126, 153syldan 485 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → (∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥𝑧𝑥))
155154ralrimdva 2951 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑥))
156 ffn 5944 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑋)
1578, 156syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
158157ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn 𝑋)
159 breq1 4580 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐹𝑦) → (𝑧𝑥 ↔ (𝐹𝑦) ≤ 𝑥))
160159ralrn 6255 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑋 → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑥 ↔ ∀𝑦𝑋 (𝐹𝑦) ≤ 𝑥))
161158, 160syl 17 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑥 ↔ ∀𝑦𝑋 (𝐹𝑦) ≤ 𝑥))
162155, 161sylibd 227 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → ∀𝑦𝑋 (𝐹𝑦) ≤ 𝑥))
163162reximdva 2999 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝐹𝑦) ≤ 𝑥))
164124, 163mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝐹𝑦) ≤ 𝑥)
16571, 164rexlimddv 3016 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝐹𝑦) ≤ 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  cin 3538  wss 3539  c0 3873  𝒫 cpw 4107  {csn 4124  cop 4130   cuni 4366   class class class wbr 4577   × cxp 5026  dom cdm 5028  ran crn 5029  cima 5031  Fun wfun 5784   Fn wfn 5785  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7818  supcsup 8206  cr 9791  1c1 9793   + caddc 9795  -∞cmnf 9928  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  (,)cioo 12002  t crest 15850  topGenctg 15867  Topctop 20459  TopOnctopon 20460  TopBasesctb 20462   Cn ccn 20780  Compccmp 20941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-q 11621  df-ioo 12006  df-rest 15852  df-topgen 15873  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-cn 20783  df-cmp 20942
This theorem is referenced by:  evth  22497
  Copyright terms: Public domain W3C validator