Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj529 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bnj529 30572
Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
bnj529.1 𝐷 = (ω ∖ {∅})
Assertion
Ref Expression
bnj529 (𝑀𝐷 → ∅ ∈ 𝑀)

Proof of Theorem bnj529
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4294 . . . 4 (𝑀 ∈ (ω ∖ {∅}) ↔ (𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅))
21biimpi 206 . . 3 (𝑀 ∈ (ω ∖ {∅}) → (𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅))
3 bnj529.1 . . 3 𝐷 = (ω ∖ {∅})
42, 3eleq2s 2716 . 2 (𝑀𝐷 → (𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅))
5 nnord 7035 . . 3 (𝑀 ∈ ω → Ord 𝑀)
65anim1i 591 . 2 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅) → (Ord 𝑀𝑀 ≠ ∅))
7 ord0eln0 5748 . . 3 (Ord 𝑀 → (∅ ∈ 𝑀𝑀 ≠ ∅))
87biimpar 502 . 2 ((Ord 𝑀𝑀 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝑀)
94, 6, 83syl 18 1 (𝑀𝐷 → ∅ ∈ 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3557  c0 3897  {csn 4155  Ord word 5691  ωcom 7027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-om 7028
This theorem is referenced by:  bnj545  30726  bnj900  30760  bnj929  30767
  Copyright terms: Public domain W3C validator