Theorem bnj529 32005

Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
bnj529.1	⊢ 𝐷 = (ω ∖ {∅})

Assertion

Ref	Expression
bnj529	⊢ (𝑀 ∈ 𝐷 → ∅ ∈ 𝑀)

Proof of Theorem bnj529

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4711	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ω ∖ {∅}) ↔ (𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅))
2	1	biimpi 218	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ω ∖ {∅}) → (𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅))
3		bnj529.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (ω ∖ {∅})
4	2, 3	eleq2s 2929	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐷 → (𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅))
5		nnord 7580	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ω → Ord 𝑀)
6	5	anim1i 616	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅) → (Ord 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ ∅))
7		ord0eln0 6238	. . 3 ⊢ (Ord 𝑀 → (∅ ∈ 𝑀 ↔ 𝑀 ≠ ∅))
8	7	biimpar 480	. 2 ⊢ ((Ord 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝑀)
9	4, 6, 8	3syl 18	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐷 → ∅ ∈ 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014   ∖ cdif 3931  ∅c0 4289  {csn 4559  Ord word 6183  ωcom 7572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320  ax-un 7453

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-tr 5164  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-om 7573

This theorem is referenced by:  bnj545  32160  bnj900  32194  bnj929  32201