Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj529 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bnj529 29868
Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
bnj529.1 𝐷 = (ω ∖ {∅})
Assertion
Ref Expression
bnj529 (𝑀𝐷 → ∅ ∈ 𝑀)

Proof of Theorem bnj529
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4256 . . . 4 (𝑀 ∈ (ω ∖ {∅}) ↔ (𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅))
21biimpi 204 . . 3 (𝑀 ∈ (ω ∖ {∅}) → (𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅))
3 bnj529.1 . . 3 𝐷 = (ω ∖ {∅})
42, 3eleq2s 2702 . 2 (𝑀𝐷 → (𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅))
5 nnord 6939 . . 3 (𝑀 ∈ ω → Ord 𝑀)
65anim1i 589 . 2 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝑀 ≠ ∅) → (Ord 𝑀𝑀 ≠ ∅))
7 ord0eln0 5679 . . 3 (Ord 𝑀 → (∅ ∈ 𝑀𝑀 ≠ ∅))
87biimpar 500 . 2 ((Ord 𝑀𝑀 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝑀)
94, 6, 83syl 18 1 (𝑀𝐷 → ∅ ∈ 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776  cdif 3533  c0 3870  {csn 4121  Ord word 5622  ωcom 6931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pr 4825  ax-un 6821
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-ral 2897  df-rex 2898  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-br 4575  df-opab 4635  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-om 6932
This theorem is referenced by:  bnj545  30022  bnj900  30056  bnj929  30063
  Copyright terms: Public domain W3C validator