Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj983 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bnj983 30726
Description: Technical lemma for bnj69 30783. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj983.1 (𝜑 ↔ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
bnj983.2 (𝜓 ↔ ∀𝑖 ∈ ω (suc 𝑖𝑛 → (𝑓‘suc 𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑖) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
bnj983.3 𝐷 = (ω ∖ {∅})
bnj983.4 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)}
bnj983.5 (𝜒 ↔ (𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
bnj983 (𝑍 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑖,𝑛,𝑦   𝐷,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖,𝑛,𝑦   𝑓,𝑋,𝑖,𝑛,𝑦   𝑓,𝑍,𝑖,𝑛   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑓,𝑛)   𝜓(𝑦,𝑓,𝑖,𝑛)   𝜒(𝑦,𝑓,𝑖,𝑛)   𝐵(𝑦,𝑓,𝑖,𝑛)   𝐷(𝑦,𝑓,𝑛)   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem bnj983
StepHypRef Expression
1 bnj983.1 . . . . . . . 8 (𝜑 ↔ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
2 bnj983.2 . . . . . . . 8 (𝜓 ↔ ∀𝑖 ∈ ω (suc 𝑖𝑛 → (𝑓‘suc 𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑖) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
3 bnj983.3 . . . . . . . 8 𝐷 = (ω ∖ {∅})
4 bnj983.4 . . . . . . . 8 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)}
51, 2, 3, 4bnj882 30701 . . . . . . 7 trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) = 𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖)
65eleq2i 2690 . . . . . 6 (𝑍 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ↔ 𝑍 𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖))
7 eliun 4490 . . . . . . 7 (𝑍 𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ↔ ∃𝑓𝐵 𝑍 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖))
8 eliun 4490 . . . . . . . 8 (𝑍 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖))
98rexbii 3034 . . . . . . 7 (∃𝑓𝐵 𝑍 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ↔ ∃𝑓𝐵𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖))
107, 9bitri 264 . . . . . 6 (𝑍 𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ↔ ∃𝑓𝐵𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖))
11 df-rex 2913 . . . . . . 7 (∃𝑓𝐵𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖) ↔ ∃𝑓(𝑓𝐵 ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
124abeq2i 2732 . . . . . . . . 9 (𝑓𝐵 ↔ ∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓))
1312anbi1i 730 . . . . . . . 8 ((𝑓𝐵 ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
1413exbii 1771 . . . . . . 7 (∃𝑓(𝑓𝐵 ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ ∃𝑓(∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
1511, 14bitri 264 . . . . . 6 (∃𝑓𝐵𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖) ↔ ∃𝑓(∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
166, 10, 153bitri 286 . . . . 5 (𝑍 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑓(∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
17 bnj983.5 . . . . . . . . 9 (𝜒 ↔ (𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓))
18 bnj252 30473 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) ↔ (𝑛𝐷 ∧ (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)))
1917, 18bitri 264 . . . . . . . 8 (𝜒 ↔ (𝑛𝐷 ∧ (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)))
2019exbii 1771 . . . . . . 7 (∃𝑛𝜒 ↔ ∃𝑛(𝑛𝐷 ∧ (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)))
2120anbi1i 730 . . . . . 6 ((∃𝑛𝜒 ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ (∃𝑛(𝑛𝐷 ∧ (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)) ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
22 df-rex 2913 . . . . . . 7 (∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) ↔ ∃𝑛(𝑛𝐷 ∧ (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)))
23 df-rex 2913 . . . . . . 7 (∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖) ↔ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
2422, 23anbi12i 732 . . . . . 6 ((∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (∃𝑛(𝑛𝐷 ∧ (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)) ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
2521, 24bitr4i 267 . . . . 5 ((∃𝑛𝜒 ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ (∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
2616, 25bnj133 30498 . . . 4 (𝑍 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑓(∃𝑛𝜒 ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
27 19.41v 1911 . . . 4 (∃𝑛(𝜒 ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ (∃𝑛𝜒 ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
2826, 27bnj133 30498 . . 3 (𝑍 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑓𝑛(𝜒 ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
292bnj1095 30557 . . . . . . 7 (𝜓 → ∀𝑖𝜓)
3029, 17bnj1096 30558 . . . . . 6 (𝜒 → ∀𝑖𝜒)
3130nf5i 2021 . . . . 5 𝑖𝜒
323119.42 2103 . . . 4 (∃𝑖(𝜒 ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ (𝜒 ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
33322exbii 1772 . . 3 (∃𝑓𝑛𝑖(𝜒 ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ ∃𝑓𝑛(𝜒 ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
3428, 33bitr4i 267 . 2 (𝑍 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒 ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
35 3anass 1040 . . 3 ((𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (𝜒 ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
36353exbii 1773 . 2 (∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒 ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
37 fndm 5948 . . . . . . . 8 (𝑓 Fn 𝑛 → dom 𝑓 = 𝑛)
3817, 37bnj770 30538 . . . . . . 7 (𝜒 → dom 𝑓 = 𝑛)
39 eleq2 2687 . . . . . . . 8 (dom 𝑓 = 𝑛 → (𝑖 ∈ dom 𝑓𝑖𝑛))
40393anbi2d 1401 . . . . . . 7 (dom 𝑓 = 𝑛 → ((𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
4138, 40syl 17 . . . . . 6 (𝜒 → ((𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
42413ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) → ((𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
4342ibi 256 . . . 4 ((𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) → (𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
44413ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) → ((𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
4544ibir 257 . . . 4 ((𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) → (𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
4643, 45impbii 199 . . 3 ((𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
47463exbii 1773 . 2 (∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
4834, 36, 473bitr2i 288 1 (𝑍 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  {cab 2607  wral 2907  wrex 2908  cdif 3552  c0 3891  {csn 4148   ciun 4485  dom cdm 5074  suc csuc 5684   Fn wfn 5842  cfv 5847  ωcom 7012  w-bnj17 30456   predc-bnj14 30458   trClc-bnj18 30464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-v 3188  df-iun 4487  df-fn 5850  df-bnj17 30457  df-bnj18 30465
This theorem is referenced by:  bnj1033  30742
  Copyright terms: Public domain W3C validator