Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj983 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bnj983 31328
Description: Technical lemma for bnj69 31385. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj983.1 (𝜑 ↔ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
bnj983.2 (𝜓 ↔ ∀𝑖 ∈ ω (suc 𝑖𝑛 → (𝑓‘suc 𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑖) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
bnj983.3 𝐷 = (ω ∖ {∅})
bnj983.4 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)}
bnj983.5 (𝜒 ↔ (𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
bnj983 (𝑍 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑖,𝑛,𝑦   𝐷,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖,𝑛,𝑦   𝑓,𝑋,𝑖,𝑛,𝑦   𝑓,𝑍,𝑖,𝑛   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑓,𝑛)   𝜓(𝑦,𝑓,𝑖,𝑛)   𝜒(𝑦,𝑓,𝑖,𝑛)   𝐵(𝑦,𝑓,𝑖,𝑛)   𝐷(𝑦,𝑓,𝑛)   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem bnj983
StepHypRef Expression
1 bnj983.1 . . . . . . . 8 (𝜑 ↔ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
2 bnj983.2 . . . . . . . 8 (𝜓 ↔ ∀𝑖 ∈ ω (suc 𝑖𝑛 → (𝑓‘suc 𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑖) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
3 bnj983.3 . . . . . . . 8 𝐷 = (ω ∖ {∅})
4 bnj983.4 . . . . . . . 8 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)}
51, 2, 3, 4bnj882 31303 . . . . . . 7 trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) = 𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖)
65eleq2i 2831 . . . . . 6 (𝑍 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ↔ 𝑍 𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖))
7 eliun 4676 . . . . . . 7 (𝑍 𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ↔ ∃𝑓𝐵 𝑍 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖))
8 eliun 4676 . . . . . . . 8 (𝑍 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖))
98rexbii 3179 . . . . . . 7 (∃𝑓𝐵 𝑍 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ↔ ∃𝑓𝐵𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖))
107, 9bitri 264 . . . . . 6 (𝑍 𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ↔ ∃𝑓𝐵𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖))
11 df-rex 3056 . . . . . . 7 (∃𝑓𝐵𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖) ↔ ∃𝑓(𝑓𝐵 ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
124abeq2i 2873 . . . . . . . . 9 (𝑓𝐵 ↔ ∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓))
1312anbi1i 733 . . . . . . . 8 ((𝑓𝐵 ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
1413exbii 1923 . . . . . . 7 (∃𝑓(𝑓𝐵 ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ ∃𝑓(∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
1511, 14bitri 264 . . . . . 6 (∃𝑓𝐵𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖) ↔ ∃𝑓(∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
166, 10, 153bitri 286 . . . . 5 (𝑍 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑓(∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
17 bnj983.5 . . . . . . . . 9 (𝜒 ↔ (𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓))
18 bnj252 31078 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) ↔ (𝑛𝐷 ∧ (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)))
1917, 18bitri 264 . . . . . . . 8 (𝜒 ↔ (𝑛𝐷 ∧ (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)))
2019exbii 1923 . . . . . . 7 (∃𝑛𝜒 ↔ ∃𝑛(𝑛𝐷 ∧ (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)))
2120anbi1i 733 . . . . . 6 ((∃𝑛𝜒 ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ (∃𝑛(𝑛𝐷 ∧ (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)) ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
22 df-rex 3056 . . . . . . 7 (∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) ↔ ∃𝑛(𝑛𝐷 ∧ (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)))
23 df-rex 3056 . . . . . . 7 (∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖) ↔ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
2422, 23anbi12i 735 . . . . . 6 ((∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (∃𝑛(𝑛𝐷 ∧ (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)) ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
2521, 24bitr4i 267 . . . . 5 ((∃𝑛𝜒 ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ (∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
2616, 25bnj133 31102 . . . 4 (𝑍 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑓(∃𝑛𝜒 ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
27 19.41v 2026 . . . 4 (∃𝑛(𝜒 ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ (∃𝑛𝜒 ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
2826, 27bnj133 31102 . . 3 (𝑍 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑓𝑛(𝜒 ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
292bnj1095 31159 . . . . . . 7 (𝜓 → ∀𝑖𝜓)
3029, 17bnj1096 31160 . . . . . 6 (𝜒 → ∀𝑖𝜒)
3130nf5i 2173 . . . . 5 𝑖𝜒
323119.42 2252 . . . 4 (∃𝑖(𝜒 ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ (𝜒 ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
33322exbii 1924 . . 3 (∃𝑓𝑛𝑖(𝜒 ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ ∃𝑓𝑛(𝜒 ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
3428, 33bitr4i 267 . 2 (𝑍 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒 ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
35 3anass 1081 . . 3 ((𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (𝜒 ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
36353exbii 1925 . 2 (∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒 ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
37 fndm 6151 . . . . . . . 8 (𝑓 Fn 𝑛 → dom 𝑓 = 𝑛)
3817, 37bnj770 31140 . . . . . . 7 (𝜒 → dom 𝑓 = 𝑛)
39 eleq2 2828 . . . . . . . 8 (dom 𝑓 = 𝑛 → (𝑖 ∈ dom 𝑓𝑖𝑛))
40393anbi2d 1553 . . . . . . 7 (dom 𝑓 = 𝑛 → ((𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
4138, 40syl 17 . . . . . 6 (𝜒 → ((𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
42413ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) → ((𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
4342ibi 256 . . . 4 ((𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) → (𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
44413ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) → ((𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
4544ibir 257 . . . 4 ((𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) → (𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
4643, 45impbii 199 . . 3 ((𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
47463exbii 1925 . 2 (∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
4834, 36, 473bitr2i 288 1 (𝑍 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  {cab 2746  wral 3050  wrex 3051  cdif 3712  c0 4058  {csn 4321   ciun 4672  dom cdm 5266  suc csuc 5886   Fn wfn 6044  cfv 6049  ωcom 7230  w-bnj17 31061   predc-bnj14 31063   trClc-bnj18 31069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-v 3342  df-iun 4674  df-fn 6052  df-bnj17 31062  df-bnj18 31070
This theorem is referenced by:  bnj1033  31344
  Copyright terms: Public domain W3C validator