Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj996 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bnj996 30733
Description: Technical lemma for bnj69 30786. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj996.1 (𝜑 ↔ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
bnj996.2 (𝜓 ↔ ∀𝑖 ∈ ω (suc 𝑖𝑛 → (𝑓‘suc 𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑖) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
bnj996.3 (𝜒 ↔ (𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓))
bnj996.4 (𝜃 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴𝑦 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
bnj996.5 (𝜏 ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚𝑝 = suc 𝑛))
bnj996.6 (𝜂 ↔ (𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖)))
bnj996.13 𝐷 = (ω ∖ {∅})
bnj996.14 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)}
Assertion
Ref Expression
bnj996 𝑓𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑖,𝑛,𝑦   𝐷,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖,𝑛,𝑦   𝑓,𝑋,𝑖,𝑛,𝑦   𝜒,𝑚,𝑝   𝜂,𝑚,𝑝   𝜃,𝑓,𝑖,𝑛   𝜑,𝑖   𝑚,𝑛,𝜃,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑓,𝑚,𝑛,𝑝)   𝜓(𝑦,𝑧,𝑓,𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝜒(𝑦,𝑧,𝑓,𝑖,𝑛)   𝜃(𝑦,𝑧)   𝜏(𝑦,𝑧,𝑓,𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝜂(𝑦,𝑧,𝑓,𝑖,𝑛)   𝐴(𝑧,𝑚,𝑝)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑓,𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑓,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑅(𝑧,𝑚,𝑝)   𝑋(𝑧,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem bnj996
StepHypRef Expression
1 bnj996.4 . . . . 5 (𝜃 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴𝑦 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
2 bnj996.1 . . . . . 6 (𝜑 ↔ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
3 bnj996.2 . . . . . 6 (𝜓 ↔ ∀𝑖 ∈ ω (suc 𝑖𝑛 → (𝑓‘suc 𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑖) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4 bnj996.13 . . . . . 6 𝐷 = (ω ∖ {∅})
5 bnj996.14 . . . . . 6 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)}
6 bnj996.3 . . . . . 6 (𝜒 ↔ (𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓))
72, 3, 4, 5, 6bnj917 30712 . . . . 5 (𝑦 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) → ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖)))
81, 7bnj771 30542 . . . 4 (𝜃 → ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖)))
9 3anass 1040 . . . . . 6 ((𝜒𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (𝜒 ∧ (𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖))))
10 bnj996.6 . . . . . . 7 (𝜂 ↔ (𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖)))
1110anbi2i 729 . . . . . 6 ((𝜒𝜂) ↔ (𝜒 ∧ (𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖))))
129, 11bitr4i 267 . . . . 5 ((𝜒𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (𝜒𝜂))
13123exbii 1773 . . . 4 (∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝜂))
148, 13sylib 208 . . 3 (𝜃 → ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝜂))
15 bnj996.5 . . . . . . . . . 10 (𝜏 ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚𝑝 = suc 𝑛))
166, 4, 15bnj986 30732 . . . . . . . . 9 (𝜒 → ∃𝑚𝑝𝜏)
1716ancli 573 . . . . . . . 8 (𝜒 → (𝜒 ∧ ∃𝑚𝑝𝜏))
18 19.42vv 1917 . . . . . . . 8 (∃𝑚𝑝(𝜒𝜏) ↔ (𝜒 ∧ ∃𝑚𝑝𝜏))
1917, 18sylibr 224 . . . . . . 7 (𝜒 → ∃𝑚𝑝(𝜒𝜏))
2019anim1i 591 . . . . . 6 ((𝜒𝜂) → (∃𝑚𝑝(𝜒𝜏) ∧ 𝜂))
21 19.41vv 1912 . . . . . 6 (∃𝑚𝑝((𝜒𝜏) ∧ 𝜂) ↔ (∃𝑚𝑝(𝜒𝜏) ∧ 𝜂))
2220, 21sylibr 224 . . . . 5 ((𝜒𝜂) → ∃𝑚𝑝((𝜒𝜏) ∧ 𝜂))
23 df-3an 1038 . . . . . 6 ((𝜒𝜏𝜂) ↔ ((𝜒𝜏) ∧ 𝜂))
24232exbii 1772 . . . . 5 (∃𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂) ↔ ∃𝑚𝑝((𝜒𝜏) ∧ 𝜂))
2522, 24sylibr 224 . . . 4 ((𝜒𝜂) → ∃𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂))
26252eximi 1760 . . 3 (∃𝑛𝑖(𝜒𝜂) → ∃𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂))
2714, 26bnj593 30523 . 2 (𝜃 → ∃𝑓𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂))
28 19.37v 1907 . . . . . . . . . 10 (∃𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ (𝜃 → ∃𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
2928exbii 1771 . . . . . . . . 9 (∃𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ ∃𝑚(𝜃 → ∃𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
3029bnj132 30500 . . . . . . . 8 (∃𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ (𝜃 → ∃𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
3130exbii 1771 . . . . . . 7 (∃𝑖𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ ∃𝑖(𝜃 → ∃𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
3231bnj132 30500 . . . . . 6 (∃𝑖𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ (𝜃 → ∃𝑖𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
3332exbii 1771 . . . . 5 (∃𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ ∃𝑛(𝜃 → ∃𝑖𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
3433bnj132 30500 . . . 4 (∃𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ (𝜃 → ∃𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
3534exbii 1771 . . 3 (∃𝑓𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ ∃𝑓(𝜃 → ∃𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
3635bnj132 30500 . 2 (∃𝑓𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ (𝜃 → ∃𝑓𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
3727, 36mpbir 221 1 𝑓𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  {cab 2607  wral 2907  wrex 2908  cdif 3552  c0 3891  {csn 4148   ciun 4485  suc csuc 5684   Fn wfn 5842  cfv 5847  ωcom 7012  w-bnj17 30459   predc-bnj14 30461   FrSe w-bnj15 30465   trClc-bnj18 30467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-fn 5850  df-om 7013  df-bnj17 30460  df-bnj18 30468
This theorem is referenced by:  bnj1021  30742
  Copyright terms: Public domain W3C validator