Theorem bnj996 32232

Description: Technical lemma for bnj69 32286. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj996.1	⊢ (𝜑 ↔ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
bnj996.2	⊢ (𝜓 ↔ ∀𝑖 ∈ ω (suc 𝑖 ∈ 𝑛 → (𝑓‘suc 𝑖) = ∪ 𝑦 ∈ (𝑓‘𝑖) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
bnj996.3	⊢ (𝜒 ↔ (𝑛 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 Fn 𝑛 ∧ 𝜑 ∧ 𝜓))
bnj996.4	⊢ (𝜃 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
bnj996.5	⊢ (𝜏 ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑝 = suc 𝑛))
bnj996.6	⊢ (𝜂 ↔ (𝑖 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ (𝑓‘𝑖)))
bnj996.13	⊢ 𝐷 = (ω ∖ {∅})
bnj996.14	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝐷 (𝑓 Fn 𝑛 ∧ 𝜑 ∧ 𝜓)}

Assertion

Ref	Expression
bnj996	⊢ ∃𝑓∃𝑛∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜃 → (𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑖,𝑛,𝑦   𝐷,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖,𝑛,𝑦   𝑓,𝑋,𝑖,𝑛,𝑦   𝜒,𝑚,𝑝   𝜂,𝑚,𝑝   𝜃,𝑓,𝑖,𝑛   𝜑,𝑖   𝑚,𝑛,𝜃,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑓,𝑚,𝑛,𝑝)   𝜓(𝑦,𝑧,𝑓,𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝜒(𝑦,𝑧,𝑓,𝑖,𝑛)   𝜃(𝑦,𝑧)   𝜏(𝑦,𝑧,𝑓,𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝜂(𝑦,𝑧,𝑓,𝑖,𝑛)   𝐴(𝑧,𝑚,𝑝)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑓,𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑓,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑅(𝑧,𝑚,𝑝)   𝑋(𝑧,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem bnj996

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj996.4	. . . . 5 ⊢ (𝜃 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
2		bnj996.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 ↔ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
3		bnj996.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜓 ↔ ∀𝑖 ∈ ω (suc 𝑖 ∈ 𝑛 → (𝑓‘suc 𝑖) = ∪ 𝑦 ∈ (𝑓‘𝑖) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4		bnj996.13	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (ω ∖ {∅})
5		bnj996.14	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝐷 (𝑓 Fn 𝑛 ∧ 𝜑 ∧ 𝜓)}
6		bnj996.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜒 ↔ (𝑛 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 Fn 𝑛 ∧ 𝜑 ∧ 𝜓))
7	2, 3, 4, 5, 6	bnj917 32210	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) → ∃𝑓∃𝑛∃𝑖(𝜒 ∧ 𝑖 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ (𝑓‘𝑖)))
8	1, 7	bnj771 32039	. . . 4 ⊢ (𝜃 → ∃𝑓∃𝑛∃𝑖(𝜒 ∧ 𝑖 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ (𝑓‘𝑖)))
9		3anass 1091	. . . . . 6 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑖 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ (𝑓‘𝑖)) ↔ (𝜒 ∧ (𝑖 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ (𝑓‘𝑖))))
10		bnj996.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜂 ↔ (𝑖 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ (𝑓‘𝑖)))
11	10	anbi2i 624	. . . . . 6 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝜂) ↔ (𝜒 ∧ (𝑖 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ (𝑓‘𝑖))))
12	9, 11	bitr4i 280	. . . . 5 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑖 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ (𝑓‘𝑖)) ↔ (𝜒 ∧ 𝜂))
13	12	3exbii 1849	. . . 4 ⊢ (∃𝑓∃𝑛∃𝑖(𝜒 ∧ 𝑖 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ (𝑓‘𝑖)) ↔ ∃𝑓∃𝑛∃𝑖(𝜒 ∧ 𝜂))
14	8, 13	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝜃 → ∃𝑓∃𝑛∃𝑖(𝜒 ∧ 𝜂))
15		bnj996.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜏 ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑝 = suc 𝑛))
16	6, 4, 15	bnj986 32231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜒 → ∃𝑚∃𝑝𝜏)
17	16	ancli 551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜒 → (𝜒 ∧ ∃𝑚∃𝑝𝜏))
18		19.42vv 1957	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏) ↔ (𝜒 ∧ ∃𝑚∃𝑝𝜏))
19	17, 18	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ (𝜒 → ∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏))
20	19	anim1i 616	. . . . . 6 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝜂) → (∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏) ∧ 𝜂))
21		19.41vv 1950	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑚∃𝑝((𝜒 ∧ 𝜏) ∧ 𝜂) ↔ (∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏) ∧ 𝜂))
22	20, 21	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝜂) → ∃𝑚∃𝑝((𝜒 ∧ 𝜏) ∧ 𝜂))
23		df-3an 1085	. . . . . 6 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂) ↔ ((𝜒 ∧ 𝜏) ∧ 𝜂))
24	23	2exbii 1848	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂) ↔ ∃𝑚∃𝑝((𝜒 ∧ 𝜏) ∧ 𝜂))
25	22, 24	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝜂) → ∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂))
26	25	2eximi 1835	. . 3 ⊢ (∃𝑛∃𝑖(𝜒 ∧ 𝜂) → ∃𝑛∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂))
27	14, 26	bnj593 32020	. 2 ⊢ (𝜃 → ∃𝑓∃𝑛∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂))
28		19.37v 1997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑝(𝜃 → (𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)) ↔ (𝜃 → ∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)))
29	28	exbii 1847	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑚∃𝑝(𝜃 → (𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)) ↔ ∃𝑚(𝜃 → ∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)))
30	29	bnj132 32000	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑚∃𝑝(𝜃 → (𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)) ↔ (𝜃 → ∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)))
31	30	exbii 1847	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜃 → (𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)) ↔ ∃𝑖(𝜃 → ∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)))
32	31	bnj132 32000	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜃 → (𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)) ↔ (𝜃 → ∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)))
33	32	exbii 1847	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜃 → (𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)) ↔ ∃𝑛(𝜃 → ∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)))
34	33	bnj132 32000	. . . 4 ⊢ (∃𝑛∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜃 → (𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)) ↔ (𝜃 → ∃𝑛∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)))
35	34	exbii 1847	. . 3 ⊢ (∃𝑓∃𝑛∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜃 → (𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)) ↔ ∃𝑓(𝜃 → ∃𝑛∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)))
36	35	bnj132 32000	. 2 ⊢ (∃𝑓∃𝑛∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜃 → (𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)) ↔ (𝜃 → ∃𝑓∃𝑛∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)))
37	27, 36	mpbir 233	1 ⊢ ∃𝑓∃𝑛∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜃 → (𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536  ∃wex 1779   ∈ wcel 2113  {cab 2802  ∀wral 3141  ∃wrex 3142   ∖ cdif 3936  ∅c0 4294  {csn 4570  ∪ ciun 4922  suc csuc 6196   Fn wfn 6353  ‘cfv 6358  ωcom 7583   ∧ w-bnj17 31960   predc-bnj14 31962   FrSe w-bnj15 31966   trClc-bnj18 31968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pr 5333  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-tr 5176  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-fn 6361  df-om 7584  df-bnj17 31961  df-bnj18 31969

This theorem is referenced by:  bnj1021  32242