MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpoly4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpoly4 14726
Description: The Bernoulli polynomials at four. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
bpoly4 (𝑋 ∈ ℂ → (4 BernPoly 𝑋) = ((((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) + (𝑋↑2)) − (1 / 30)))

Proof of Theorem bpoly4
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4nn0 11263 . . 3 4 ∈ ℕ0
2 bpolyval 14716 . . 3 ((4 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (4 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑4) − Σ𝑘 ∈ (0...(4 − 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)))))
31, 2mpan 705 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → (4 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑4) − Σ𝑘 ∈ (0...(4 − 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)))))
4 4m1e3 11090 . . . . . . 7 (4 − 1) = 3
5 df-3 11032 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
64, 5eqtri 2643 . . . . . 6 (4 − 1) = (2 + 1)
76oveq2i 6621 . . . . 5 (0...(4 − 1)) = (0...(2 + 1))
87sumeq1i 14370 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...(4 − 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(2 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)))
9 2eluzge0 11685 . . . . . . 7 2 ∈ (ℤ‘0)
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → 2 ∈ (ℤ‘0))
11 elfzelz 12292 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12 bccl 13057 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (4C𝑘) ∈ ℕ0)
131, 11, 12sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → (4C𝑘) ∈ ℕ0)
1413nn0cnd 11305 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → (4C𝑘) ∈ ℂ)
1514adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1))) → (4C𝑘) ∈ ℂ)
16 elfznn0 12382 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17 bpolycl 14719 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
1816, 17sylan 488 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
1918ancoms 469 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1))) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
20 4re 11049 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℝ
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 4 ∈ ℝ)
2211zred 11434 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
2321, 22resubcld 10410 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → (4 − 𝑘) ∈ ℝ)
24 peano2re 10161 . . . . . . . . . . 11 ((4 − 𝑘) ∈ ℝ → ((4 − 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → ((4 − 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
2625recnd 10020 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → ((4 − 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
2726adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1))) → ((4 − 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
28 1red 10007 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
295oveq2i 6621 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...3) = (0...(2 + 1))
3029eleq2i 2690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...3) ↔ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1)))
31 elfzelz 12292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
3231zred 11434 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℝ)
33 3re 11046 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...3) → 3 ∈ ℝ)
3520a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...3) → 4 ∈ ℝ)
36 elfzle2 12295 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ≤ 3)
37 3lt4 11149 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 < 4
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...3) → 3 < 4)
3932, 34, 35, 36, 38lelttrd 10147 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 < 4)
4030, 39sylbir 225 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 𝑘 < 4)
4122, 21posdifd 10566 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → (𝑘 < 4 ↔ 0 < (4 − 𝑘)))
4240, 41mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 0 < (4 − 𝑘))
43 0lt1 10502 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 0 < 1)
4523, 28, 42, 44addgt0d 10554 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 0 < ((4 − 𝑘) + 1))
4645gt0ne0d 10544 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → ((4 − 𝑘) + 1) ≠ 0)
4746adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1))) → ((4 − 𝑘) + 1) ≠ 0)
4819, 27, 47divcld 10753 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1))) → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
4915, 48mulcld 10012 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1))) → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
505eqeq2i 2633 . . . . . . 7 (𝑘 = 3 ↔ 𝑘 = (2 + 1))
51 oveq2 6618 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 3 → (4C𝑘) = (4C3))
52 4bc3eq4 13063 . . . . . . . . 9 (4C3) = 4
5351, 52syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → (4C𝑘) = 4)
54 oveq1 6617 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 3 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (3 BernPoly 𝑋))
55 oveq2 6618 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 3 → (4 − 𝑘) = (4 − 3))
5655oveq1d 6625 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 3 → ((4 − 𝑘) + 1) = ((4 − 3) + 1))
57 4cn 11050 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
58 3cn 11047 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
59 ax-1cn 9946 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
60 3p1e4 11105 . . . . . . . . . . . . 13 (3 + 1) = 4
6157, 58, 59, 60subaddrii 10322 . . . . . . . . . . . 12 (4 − 3) = 1
6261oveq1i 6620 . . . . . . . . . . 11 ((4 − 3) + 1) = (1 + 1)
63 df-2 11031 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
6462, 63eqtr4i 2646 . . . . . . . . . 10 ((4 − 3) + 1) = 2
6556, 64syl6eq 2671 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 3 → ((4 − 𝑘) + 1) = 2)
6654, 65oveq12d 6628 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)) = ((3 BernPoly 𝑋) / 2))
6753, 66oveq12d 6628 . . . . . . 7 (𝑘 = 3 → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (4 · ((3 BernPoly 𝑋) / 2)))
6850, 67sylbir 225 . . . . . 6 (𝑘 = (2 + 1) → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (4 · ((3 BernPoly 𝑋) / 2)))
6910, 49, 68fsump1 14426 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(2 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...2)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) + (4 · ((3 BernPoly 𝑋) / 2))))
7063oveq2i 6621 . . . . . . . 8 (0...2) = (0...(1 + 1))
7170sumeq1i 14370 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ (0...2)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(1 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)))
72 1eluzge0 11684 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (ℤ‘0)
7372a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → 1 ∈ (ℤ‘0))
74 fzssp1 12334 . . . . . . . . . . . 12 (0...(1 + 1)) ⊆ (0...((1 + 1) + 1))
7563oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
7675oveq2i 6621 . . . . . . . . . . . 12 (0...(2 + 1)) = (0...((1 + 1) + 1))
7774, 76sseqtr4i 3622 . . . . . . . . . . 11 (0...(1 + 1)) ⊆ (0...(2 + 1))
7877sseli 3583 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(1 + 1)) → 𝑘 ∈ (0...(2 + 1)))
7978, 49sylan2 491 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(1 + 1))) → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
8063eqeq2i 2633 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 2 ↔ 𝑘 = (1 + 1))
81 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → (4C𝑘) = (4C2))
82 4bc2eq6 13064 . . . . . . . . . . . 12 (4C2) = 6
8381, 82syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → (4C𝑘) = 6)
84 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (2 BernPoly 𝑋))
85 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 2 → (4 − 𝑘) = (4 − 2))
8685oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 2 → ((4 − 𝑘) + 1) = ((4 − 2) + 1))
87 2cn 11043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
88 2p2e4 11096 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 + 2) = 4
8957, 87, 87, 88subaddrii 10322 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 − 2) = 2
9089oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 − 2) + 1) = (2 + 1)
9190, 5eqtr4i 2646 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 − 2) + 1) = 3
9286, 91syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → ((4 − 𝑘) + 1) = 3)
9384, 92oveq12d 6628 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)) = ((2 BernPoly 𝑋) / 3))
9483, 93oveq12d 6628 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 2 → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (6 · ((2 BernPoly 𝑋) / 3)))
9580, 94sylbir 225 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (1 + 1) → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (6 · ((2 BernPoly 𝑋) / 3)))
9673, 79, 95fsump1 14426 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(1 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...1)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) + (6 · ((2 BernPoly 𝑋) / 3))))
97 0p1e1 11084 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 1) = 1
9897oveq2i 6621 . . . . . . . . . . 11 (0...(0 + 1)) = (0...1)
9998sumeq1i 14370 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...1)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)))
100 0nn0 11259 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℕ0
101 nn0uz 11674 . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (ℤ‘0)
102100, 101eleqtri 2696 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ (ℤ‘0)
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → 0 ∈ (ℤ‘0))
104 3nn 11138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℕ
105 nnuz 11675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℕ = (ℤ‘1)
106104, 105eleqtri 2696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ (ℤ‘1)
107 fzss2 12331 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 ∈ (ℤ‘1) → (0...1) ⊆ (0...3))
108106, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0...1) ⊆ (0...3)
109 2p1e3 11103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 + 1) = 3
110109oveq2i 6621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0...(2 + 1)) = (0...3)
111108, 98, 1103sstr4i 3628 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...(0 + 1)) ⊆ (0...(2 + 1))
112111sseli 3583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...(0 + 1)) → 𝑘 ∈ (0...(2 + 1)))
113112, 49sylan2 491 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(0 + 1))) → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
11497eqeq2i 2633 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (0 + 1) ↔ 𝑘 = 1)
115 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 1 → (4C𝑘) = (4C1))
116 bcn1 13048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 ∈ ℕ0 → (4C1) = 4)
1171, 116ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4C1) = 4
118115, 117syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → (4C𝑘) = 4)
119 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 1 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (1 BernPoly 𝑋))
120 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 1 → (4 − 𝑘) = (4 − 1))
121120oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 1 → ((4 − 𝑘) + 1) = ((4 − 1) + 1))
1224oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((4 − 1) + 1) = (3 + 1)
123 df-4 11033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 = (3 + 1)
124122, 123eqtr4i 2646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((4 − 1) + 1) = 4
125121, 124syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 1 → ((4 − 𝑘) + 1) = 4)
126119, 125oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)) = ((1 BernPoly 𝑋) / 4))
127118, 126oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (4 · ((1 BernPoly 𝑋) / 4)))
128114, 127sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (0 + 1) → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (4 · ((1 BernPoly 𝑋) / 4)))
129103, 113, 128fsump1 14426 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...0)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) + (4 · ((1 BernPoly 𝑋) / 4))))
130 0z 11340 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℤ
13159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
132 bpolycl 14719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (0 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
133100, 132mpan 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
134 5cn 11052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 ∈ ℂ
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ ℂ → 5 ∈ ℂ)
136 0re 9992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
137 5pos 11070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 5
138136, 137gtneii 10101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 ≠ 0
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ ℂ → 5 ≠ 0)
140133, 135, 139divcld 10753 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ ℂ → ((0 BernPoly 𝑋) / 5) ∈ ℂ)
141131, 140mulcld 10012 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)) ∈ ℂ)
142 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 0 → (4C𝑘) = (4C0))
143 bcn0 13045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 ∈ ℕ0 → (4C0) = 1)
1441, 143ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4C0) = 1
145142, 144syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 0 → (4C𝑘) = 1)
146 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 0 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (0 BernPoly 𝑋))
147 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 0 → (4 − 𝑘) = (4 − 0))
148147oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 0 → ((4 − 𝑘) + 1) = ((4 − 0) + 1))
14957subid1i 10305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 − 0) = 4
150149oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((4 − 0) + 1) = (4 + 1)
151 4p1e5 11106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (4 + 1) = 5
152150, 151eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((4 − 0) + 1) = 5
153148, 152syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 0 → ((4 − 𝑘) + 1) = 5)
154146, 153oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 0 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)) = ((0 BernPoly 𝑋) / 5))
155145, 154oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 0 → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)))
156155fsum1 14417 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)))
157130, 141, 156sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)))
158 bpoly0 14717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)
159158oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ ℂ → ((0 BernPoly 𝑋) / 5) = (1 / 5))
160159oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)) = (1 · (1 / 5)))
161134, 138reccli 10707 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 5) ∈ ℂ
162161mulid2i 9995 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 · (1 / 5)) = (1 / 5)
163160, 162syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)) = (1 / 5))
164157, 163eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (1 / 5))
165 1nn0 11260 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ0
166 bpolycl 14719 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (1 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
167165, 166mpan 705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
168 nn0cn 11254 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
1691, 168mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
170 4ne0 11069 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 ≠ 0
171170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → 4 ≠ 0)
172167, 169, 171divcan2d 10755 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (4 · ((1 BernPoly 𝑋) / 4)) = (1 BernPoly 𝑋))
173 bpoly1 14718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))
174172, 173eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (4 · ((1 BernPoly 𝑋) / 4)) = (𝑋 − (1 / 2)))
175164, 174oveq12d 6628 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...0)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) + (4 · ((1 BernPoly 𝑋) / 4))) = ((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))))
176129, 175eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = ((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))))
17799, 176syl5eqr 2669 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...1)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = ((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))))
178 6cn 11054 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℂ
179178a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → 6 ∈ ℂ)
180 2nn0 11261 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
181 bpolycl 14719 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (2 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
182180, 181mpan 705 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (2 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
18358a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → 3 ∈ ℂ)
184 3ne0 11067 . . . . . . . . . . . 12 3 ≠ 0
185184a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → 3 ≠ 0)
186179, 182, 183, 185div12d 10789 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (6 · ((2 BernPoly 𝑋) / 3)) = ((2 BernPoly 𝑋) · (6 / 3)))
187 3t2e6 11131 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 2) = 6
188178, 58, 87, 184divmuli 10731 . . . . . . . . . . . . 13 ((6 / 3) = 2 ↔ (3 · 2) = 6)
189187, 188mpbir 221 . . . . . . . . . . . 12 (6 / 3) = 2
190189oveq2i 6621 . . . . . . . . . . 11 ((2 BernPoly 𝑋) · (6 / 3)) = ((2 BernPoly 𝑋) · 2)
19187a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
192182, 191mulcomd 10013 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 BernPoly 𝑋) · 2) = (2 · (2 BernPoly 𝑋)))
193 bpoly2 14724 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (2 BernPoly 𝑋) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
194193oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (2 BernPoly 𝑋)) = (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))
195192, 194eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 BernPoly 𝑋) · 2) = (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))
196190, 195syl5eq 2667 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 BernPoly 𝑋) · (6 / 3)) = (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))
197186, 196eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (6 · ((2 BernPoly 𝑋) / 3)) = (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))
198177, 197oveq12d 6628 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...1)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) + (6 · ((2 BernPoly 𝑋) / 3))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))
19996, 198eqtrd 2655 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(1 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))
20071, 199syl5eq 2667 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...2)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))
201 3nn0 11262 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
202 bpolycl 14719 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (3 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
203201, 202mpan 705 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (3 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
204 2ne0 11065 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
205204a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
206169, 203, 191, 205div12d 10789 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (4 · ((3 BernPoly 𝑋) / 2)) = ((3 BernPoly 𝑋) · (4 / 2)))
207 4d2e2 11136 . . . . . . . . 9 (4 / 2) = 2
208207oveq2i 6621 . . . . . . . 8 ((3 BernPoly 𝑋) · (4 / 2)) = ((3 BernPoly 𝑋) · 2)
209203, 191mulcomd 10013 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 BernPoly 𝑋) · 2) = (2 · (3 BernPoly 𝑋)))
210 bpoly3 14725 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (3 BernPoly 𝑋) = (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))
211210oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (3 BernPoly 𝑋)) = (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))
212209, 211eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 BernPoly 𝑋) · 2) = (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))
213208, 212syl5eq 2667 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 BernPoly 𝑋) · (4 / 2)) = (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))
214206, 213eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (4 · ((3 BernPoly 𝑋) / 2)) = (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))
215200, 214oveq12d 6628 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...2)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) + (4 · ((3 BernPoly 𝑋) / 2))) = ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))))
21669, 215eqtrd 2655 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(2 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))))
2178, 216syl5eq 2667 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(4 − 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))))
218217oveq2d 6626 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑4) − Σ𝑘 ∈ (0...(4 − 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑4) − ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))))
219 expcl 12826 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝑋↑4) ∈ ℂ)
2201, 219mpan2 706 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑4) ∈ ℂ)
221 expcl 12826 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
222201, 221mpan2 706 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
223191, 222mulcld 10012 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (𝑋↑3)) ∈ ℂ)
224 sqcl 12873 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
225201, 100deccl 11464 . . . . . . . 8 30 ∈ ℕ0
226225nn0cni 11256 . . . . . . 7 30 ∈ ℂ
227 dfdec10 11449 . . . . . . . . 9 30 = ((10 · 3) + 0)
228 10re 11469 . . . . . . . . . . . 12 10 ∈ ℝ
229228recni 10004 . . . . . . . . . . 11 10 ∈ ℂ
230229, 58mulcli 9997 . . . . . . . . . 10 (10 · 3) ∈ ℂ
231230addid1i 10175 . . . . . . . . 9 ((10 · 3) + 0) = (10 · 3)
232227, 231eqtri 2643 . . . . . . . 8 30 = (10 · 3)
233 10pos 11467 . . . . . . . . . 10 0 < 10
234136, 233gtneii 10101 . . . . . . . . 9 10 ≠ 0
235229, 58, 234, 184mulne0i 10622 . . . . . . . 8 (10 · 3) ≠ 0
236232, 235eqnetri 2860 . . . . . . 7 30 ≠ 0
237226, 236reccli 10707 . . . . . 6 (1 / 30) ∈ ℂ
238237a1i 11 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (1 / 30) ∈ ℂ)
239224, 238subcld 10344 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑2) − (1 / 30)) ∈ ℂ)
240220, 223, 239subsubd 10372 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑4) − ((2 · (𝑋↑3)) − ((𝑋↑2) − (1 / 30)))) = (((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) + ((𝑋↑2) − (1 / 30))))
241161a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (1 / 5) ∈ ℂ)
242 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → 𝑋 ∈ ℂ)
24387, 204reccli 10707 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℂ
244243a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
245242, 244subcld 10344 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
246241, 245addcld 10011 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) ∈ ℂ)
247224, 242subcld 10344 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑2) − 𝑋) ∈ ℂ)
248 6pos 11071 . . . . . . . . . . . 12 0 < 6
249136, 248gtneii 10101 . . . . . . . . . . 11 6 ≠ 0
250178, 249reccli 10707 . . . . . . . . . 10 (1 / 6) ∈ ℂ
251250a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (1 / 6) ∈ ℂ)
252247, 251addcld 10011 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)) ∈ ℂ)
253191, 252mulcld 10012 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))) ∈ ℂ)
254246, 253addcld 10011 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) ∈ ℂ)
25558, 87, 204divcli 10719 . . . . . . . . . . 11 (3 / 2) ∈ ℂ
256255a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (3 / 2) ∈ ℂ)
257256, 224mulcld 10012 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
258222, 257subcld 10344 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) ∈ ℂ)
259244, 242mulcld 10012 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ)
260258, 259addcld 10011 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)) ∈ ℂ)
261191, 260mulcld 10012 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))) ∈ ℂ)
262254, 261addcomd 10190 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))) = ((2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))) + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))))
263191, 258, 259adddid 10016 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))) = ((2 · ((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + (2 · ((1 / 2) · 𝑋))))
264191, 222, 257subdid 10438 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) = ((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))))
26587, 204recidi 10708 . . . . . . . . . 10 (2 · (1 / 2)) = 1
266265oveq1i 6620 . . . . . . . . 9 ((2 · (1 / 2)) · 𝑋) = (1 · 𝑋)
267191, 244, 242mulassd 10015 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · 𝑋) = (2 · ((1 / 2) · 𝑋)))
268 mulid2 9990 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · 𝑋) = 𝑋)
269266, 267, 2683eqtr3a 2679 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((1 / 2) · 𝑋)) = 𝑋)
270264, 269oveq12d 6628 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · ((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + (2 · ((1 / 2) · 𝑋))) = (((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + 𝑋))
271263, 270eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))) = (((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + 𝑋))
272271oveq1d 6625 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))) + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) = ((((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + 𝑋) + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))))
273191, 257mulcld 10012 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))) ∈ ℂ)
274223, 273subcld 10344 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) ∈ ℂ)
275274, 242, 254addassd 10014 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → ((((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + 𝑋) + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) = (((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))))
276242, 254addcld 10011 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) ∈ ℂ)
277223, 273, 276subsubd 10372 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (𝑋↑3)) − ((2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))) − (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))))) = (((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))))
27858, 87, 204divcan2i 10720 . . . . . . . . . . 11 (2 · (3 / 2)) = 3
279278oveq1i 6620 . . . . . . . . . 10 ((2 · (3 / 2)) · (𝑋↑2)) = (3 · (𝑋↑2))
280191, 256, 224mulassd 10015 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (3 / 2)) · (𝑋↑2)) = (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))))
281279, 280syl5reqr 2670 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))) = (3 · (𝑋↑2)))
282281oveq1d 6625 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))) − (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))) = ((3 · (𝑋↑2)) − (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))))
283242, 246, 253add12d 10214 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (𝑋 + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))))
284191, 247, 251adddid 10016 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))) = ((2 · ((𝑋↑2) − 𝑋)) + (2 · (1 / 6))))
285191, 224, 242subdid 10438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((𝑋↑2) − 𝑋)) = ((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋)))
286187oveq2i 6621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 / (3 · 2)) = (2 / 6)
28758, 184reccli 10707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 / 3) ∈ ℂ
28858, 87, 287mul32i 10184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((3 · 2) · (1 / 3)) = ((3 · (1 / 3)) · 2)
28958, 184recidi 10708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (3 · (1 / 3)) = 1
290289oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((3 · (1 / 3)) · 2) = (1 · 2)
29187mulid2i 9995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 · 2) = 2
292290, 291eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((3 · (1 / 3)) · 2) = 2
293288, 292eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 · 2) · (1 / 3)) = 2
294187, 178eqeltri 2694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 · 2) ∈ ℂ
295187, 249eqnetri 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 · 2) ≠ 0
29687, 294, 287, 295divmuli 10731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 / (3 · 2)) = (1 / 3) ↔ ((3 · 2) · (1 / 3)) = 2)
297293, 296mpbir 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 / (3 · 2)) = (1 / 3)
29887, 178, 249divreci 10722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 / 6) = (2 · (1 / 6))
299286, 297, 2983eqtr3ri 2652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · (1 / 6)) = (1 / 3)
300299a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (1 / 6)) = (1 / 3))
301285, 300oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · ((𝑋↑2) − 𝑋)) + (2 · (1 / 6))) = (((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋)) + (1 / 3)))
302284, 301eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))) = (((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋)) + (1 / 3)))
303302oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) = (𝑋 + (((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋)) + (1 / 3))))
304191, 224mulcld 10012 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
305191, 242mulcld 10012 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · 𝑋) ∈ ℂ)
306304, 305subcld 10344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋)) ∈ ℂ)
307287a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (1 / 3) ∈ ℂ)
308242, 306, 307addassd 10014 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + ((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)) = (𝑋 + (((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋)) + (1 / 3))))
309242, 304, 305addsub12d 10367 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + ((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋))) = ((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))))
310309oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + ((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)) = (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)))
311303, 308, 3103eqtr2d 2661 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) = (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)))
312311oveq2d 6626 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (𝑋 + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3))))
313283, 312eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3))))
314313oveq2d 6626 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 · (𝑋↑2)) − (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))) = ((3 · (𝑋↑2)) − (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)))))
315242, 305subcld 10344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (2 · 𝑋)) ∈ ℂ)
316304, 315addcld 10011 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) ∈ ℂ)
317241, 245, 316, 307add4d 10216 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3))) = (((1 / 5) + ((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋)))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))))
318241, 304, 315add12d 10214 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 5) + ((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋)))) = ((2 · (𝑋↑2)) + ((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋)))))
319318oveq1d 6625 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + ((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋)))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))) = (((2 · (𝑋↑2)) + ((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋)))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))))
320241, 315addcld 10011 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) ∈ ℂ)
321245, 307addcld 10011 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3)) ∈ ℂ)
322304, 320, 321addassd 10014 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (((2 · (𝑋↑2)) + ((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋)))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))) = ((2 · (𝑋↑2)) + (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3)))))
323317, 319, 3223eqtrd 2659 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3))) = ((2 · (𝑋↑2)) + (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3)))))
324323oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 · (𝑋↑2)) − (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)))) = ((3 · (𝑋↑2)) − ((2 · (𝑋↑2)) + (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))))))
325183, 224mulcld 10012 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (3 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
326320, 321addcld 10011 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))) ∈ ℂ)
327325, 304, 326subsub4d 10375 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 · (𝑋↑2)) − (2 · (𝑋↑2))) − (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3)))) = ((3 · (𝑋↑2)) − ((2 · (𝑋↑2)) + (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))))))
32858, 87, 59, 109subaddrii 10322 . . . . . . . . . . . 12 (3 − 2) = 1
329328oveq1i 6620 . . . . . . . . . . 11 ((3 − 2) · (𝑋↑2)) = (1 · (𝑋↑2))
330183, 191, 224subdird 10439 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 − 2) · (𝑋↑2)) = ((3 · (𝑋↑2)) − (2 · (𝑋↑2))))
331224mulid2d 10010 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · (𝑋↑2)) = (𝑋↑2))
332329, 330, 3313eqtr3a 2679 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 · (𝑋↑2)) − (2 · (𝑋↑2))) = (𝑋↑2))
333241, 305, 242subsubd 10372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 5) − ((2 · 𝑋) − 𝑋)) = (((1 / 5) − (2 · 𝑋)) + 𝑋))
334 2txmxeqx 11101 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · 𝑋) − 𝑋) = 𝑋)
335334oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 5) − ((2 · 𝑋) − 𝑋)) = ((1 / 5) − 𝑋))
336241, 305, 242subadd23d 10366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) − (2 · 𝑋)) + 𝑋) = ((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))))
337333, 335, 3363eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 5) − 𝑋) = ((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))))
338242, 244, 307subsubd 10372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − ((1 / 2) − (1 / 3))) = ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3)))
339337, 338oveq12d 6628 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) − 𝑋) + (𝑋 − ((1 / 2) − (1 / 3)))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))))
340243, 287subcli 10309 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 2) − (1 / 3)) ∈ ℂ
341340a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 2) − (1 / 3)) ∈ ℂ)
342241, 242, 341npncand 10368 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) − 𝑋) + (𝑋 − ((1 / 2) − (1 / 3)))) = ((1 / 5) − ((1 / 2) − (1 / 3))))
343 halfthird 11637 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 2) − (1 / 3)) = (1 / 6)
344343oveq2i 6621 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 5) − ((1 / 2) − (1 / 3))) = ((1 / 5) − (1 / 6))
345 5recm6rec 11638 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 5) − (1 / 6)) = (1 / 30)
346344, 345eqtri 2643 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 5) − ((1 / 2) − (1 / 3))) = (1 / 30)
347342, 346syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) − 𝑋) + (𝑋 − ((1 / 2) − (1 / 3)))) = (1 / 30))
348339, 347eqtr3d 2657 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))) = (1 / 30))
349332, 348oveq12d 6628 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 · (𝑋↑2)) − (2 · (𝑋↑2))) − (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3)))) = ((𝑋↑2) − (1 / 30)))
350324, 327, 3493eqtr2d 2661 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 · (𝑋↑2)) − (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)))) = ((𝑋↑2) − (1 / 30)))
351282, 314, 3503eqtrd 2659 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))) − (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))) = ((𝑋↑2) − (1 / 30)))
352351oveq2d 6626 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (𝑋↑3)) − ((2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))) − (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))))) = ((2 · (𝑋↑3)) − ((𝑋↑2) − (1 / 30))))
353275, 277, 3523eqtr2d 2661 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → ((((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + 𝑋) + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) = ((2 · (𝑋↑3)) − ((𝑋↑2) − (1 / 30))))
354262, 272, 3533eqtrd 2659 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))) = ((2 · (𝑋↑3)) − ((𝑋↑2) − (1 / 30))))
355354oveq2d 6626 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑4) − ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))) = ((𝑋↑4) − ((2 · (𝑋↑3)) − ((𝑋↑2) − (1 / 30)))))
356220, 223subcld 10344 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) ∈ ℂ)
357356, 224, 238addsubassd 10364 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → ((((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) + (𝑋↑2)) − (1 / 30)) = (((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) + ((𝑋↑2) − (1 / 30))))
358240, 355, 3573eqtr4d 2665 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑4) − ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))) = ((((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) + (𝑋↑2)) − (1 / 30)))
3593, 218, 3583eqtrd 2659 1 (𝑋 ∈ ℂ → (4 BernPoly 𝑋) = ((((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) + (𝑋↑2)) − (1 / 30)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wss 3559   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893   < clt 10026  cmin 10218   / cdiv 10636  cn 10972  2c2 11022  3c3 11023  4c4 11024  5c5 11025  6c6 11026  0cn0 11244  cz 11329  cdc 11445  cuz 11639  ...cfz 12276  cexp 12808  Ccbc 13037  Σcsu 14358   BernPoly cbp 14713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359  df-bpoly 14714
This theorem is referenced by:  fsumcube  14727
  Copyright terms: Public domain W3C validator