MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolylem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpolylem 14707
Description: Lemma for bpolyval 14708. (Contributed by Scott Fenton, 22-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpoly.1 𝐺 = (𝑔 ∈ V ↦ (#‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
bpoly.2 𝐹 = wrecs( < , ℕ0, 𝐺)
Assertion
Ref Expression
bpolylem ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑘,𝑛,𝐹   𝑔,𝑁,𝑘,𝑛   𝑔,𝑋,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem bpolylem
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6614 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑛) = (𝑋𝑛))
21oveq1d 6622 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = ((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
32csbeq2dv 3966 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋(#‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = (#‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
43mpteq2dv 4707 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑔 ∈ V ↦ (#‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))) = (𝑔 ∈ V ↦ (#‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))))
5 bpoly.1 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑔 ∈ V ↦ (#‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
64, 5syl6eqr 2673 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑔 ∈ V ↦ (#‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))) = 𝐺)
7 wrecseq3 7360 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ V ↦ (#‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))) = 𝐺 → wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ (#‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))) = wrecs( < , ℕ0, 𝐺))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ (#‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))) = wrecs( < , ℕ0, 𝐺))
9 bpoly.2 . . . . . 6 𝐹 = wrecs( < , ℕ0, 𝐺)
108, 9syl6eqr 2673 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ (#‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))) = 𝐹)
1110fveq1d 6152 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ (#‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))))‘𝑚) = (𝐹𝑚))
12 fveq2 6150 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑁))
1311, 12sylan9eqr 2677 . . 3 ((𝑚 = 𝑁𝑥 = 𝑋) → (wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ (#‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))))‘𝑚) = (𝐹𝑁))
14 df-bpoly 14706 . . 3 BernPoly = (𝑚 ∈ ℕ0, 𝑥 ∈ ℂ ↦ (wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ (#‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))))‘𝑚))
15 fvex 6160 . . 3 (𝐹𝑁) ∈ V
1613, 14, 15ovmpt2a 6747 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = (𝐹𝑁))
17 ltweuz 12703 . . . . 5 < We (ℤ‘0)
18 nn0uz 11669 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
19 weeq2 5065 . . . . . 6 (ℕ0 = (ℤ‘0) → ( < We ℕ0 ↔ < We (ℤ‘0)))
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 ( < We ℕ0 ↔ < We (ℤ‘0))
2117, 20mpbir 221 . . . 4 < We ℕ0
22 nn0ex 11245 . . . . 5 0 ∈ V
23 exse 5040 . . . . 5 (ℕ0 ∈ V → < Se ℕ0)
2422, 23ax-mp 5 . . . 4 < Se ℕ0
2521, 24, 9wfr2 7382 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑁) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))))
2625adantr 481 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹𝑁) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))))
27 prednn0 12407 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → Pred( < , ℕ0, 𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
2827adantr 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → Pred( < , ℕ0, 𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
2928reseq2d 5358 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁)) = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))))
3029fveq2d 6154 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))) = (𝐺‘(𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))))
3121, 24, 9wfrfun 7373 . . . . . 6 Fun 𝐹
32 ovex 6635 . . . . . 6 (0...(𝑁 − 1)) ∈ V
33 resfunexg 6436 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 ∧ (0...(𝑁 − 1)) ∈ V) → (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∈ V)
3431, 32, 33mp2an 707 . . . . 5 (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∈ V
35 dmeq 5286 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → dom 𝑔 = dom (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))))
3621, 24, 9wfr1 7381 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 Fn ℕ0
37 fz0ssnn0 12379 . . . . . . . . . . . . 13 (0...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ0
38 fnssres 5964 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 Fn ℕ0 ∧ (0...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ0) → (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) Fn (0...(𝑁 − 1)))
3936, 37, 38mp2an 707 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) Fn (0...(𝑁 − 1))
40 fndm 5950 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) Fn (0...(𝑁 − 1)) → dom (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) = (0...(𝑁 − 1)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 dom (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) = (0...(𝑁 − 1))
4235, 41syl6eq 2671 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → dom 𝑔 = (0...(𝑁 − 1)))
43 fveq1 6149 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑔𝑘) = ((𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))‘𝑘))
44 fvres 6166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
4543, 44sylan9eq 2675 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑔𝑘) = (𝐹𝑘))
4645oveq1d 6622 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)) = ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))
4746oveq2d 6623 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))
4842, 47sumeq12rdv 14374 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))
4948oveq2d 6623 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = ((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
5049csbeq2dv 3966 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → (#‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = (#‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
5142fveq2d 6154 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → (#‘dom 𝑔) = (#‘(0...(𝑁 − 1))))
5251csbeq1d 3522 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → (#‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = (#‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
5350, 52eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → (#‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = (#‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
54 ovex 6635 . . . . . . 7 ((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) ∈ V
5554csbex 4755 . . . . . 6 (#‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) ∈ V
5653, 5, 55fvmpt 6241 . . . . 5 ((𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∈ V → (𝐺‘(𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))) = (#‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
5734, 56ax-mp 5 . . . 4 (𝐺‘(𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))) = (#‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))
58 nfcvd 2762 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑛((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
59 oveq2 6615 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝑋𝑛) = (𝑋𝑁))
60 oveq1 6614 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛C𝑘) = (𝑁C𝑘))
61 oveq1 6614 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛𝑘) = (𝑁𝑘))
6261oveq1d 6622 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛𝑘) + 1) = ((𝑁𝑘) + 1))
6362oveq2d 6623 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 → ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)) = ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1)))
6460, 63oveq12d 6625 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))) = ((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1))))
6564sumeq2sdv 14371 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1))))
6659, 65oveq12d 6625 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
6758, 66csbiegf 3539 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
6867adantr 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
69 nn0z 11347 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
70 fz01en 12314 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁))
7169, 70syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁))
72 fzfi 12714 . . . . . . . . . 10 (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
73 fzfi 12714 . . . . . . . . . 10 (1...𝑁) ∈ Fin
74 hashen 13078 . . . . . . . . . 10 (((0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((#‘(0...(𝑁 − 1))) = (#‘(1...𝑁)) ↔ (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁)))
7572, 73, 74mp2an 707 . . . . . . . . 9 ((#‘(0...(𝑁 − 1))) = (#‘(1...𝑁)) ↔ (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁))
7671, 75sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#‘(0...(𝑁 − 1))) = (#‘(1...𝑁)))
77 hashfz1 13077 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#‘(1...𝑁)) = 𝑁)
7876, 77eqtrd 2655 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#‘(0...(𝑁 − 1))) = 𝑁)
7978adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (#‘(0...(𝑁 − 1))) = 𝑁)
8079csbeq1d 3522 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (#‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = 𝑁 / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
81 elfznn0 12377 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
82 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
83 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
8411, 83sylan9eqr 2677 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 = 𝑘𝑥 = 𝑋) → (wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ (#‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))))‘𝑚) = (𝐹𝑘))
85 fvex 6160 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑘) ∈ V
8684, 14, 85ovmpt2a 6747 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (𝐹𝑘))
8781, 82, 86syl2anr 495 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (𝐹𝑘))
8887oveq1d 6622 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)) = ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1)))
8988oveq2d 6623 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = ((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1))))
9089sumeq2dv 14370 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1))))
9190oveq2d 6623 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
9268, 80, 913eqtr4d 2665 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (#‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
9357, 92syl5eq 2667 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝐺‘(𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
9430, 93eqtrd 2655 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
9516, 26, 943eqtrd 2659 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  csb 3515  wss 3556   class class class wbr 4615  cmpt 4675   Se wse 5033   We wwe 5034  dom cdm 5076  cres 5078  Predcpred 5640  Fun wfun 5843   Fn wfn 5844  cfv 5849  (class class class)co 6607  wrecscwrecs 7354  cen 7899  Fincfn 7902  cc 9881  0cc0 9883  1c1 9884   + caddc 9886   · cmul 9888   < clt 10021  cmin 10213   / cdiv 10631  0cn0 11239  cz 11324  cuz 11634  ...cfz 12271  cexp 12803  Ccbc 13032  #chash 13060  Σcsu 14353   BernPoly cbp 14705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-fz 12272  df-seq 12745  df-hash 13061  df-sum 14354  df-bpoly 14706
This theorem is referenced by:  bpolyval  14708
  Copyright terms: Public domain W3C validator