MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolyval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpolyval 14705
Description: The value of the Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpolyval ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑘,𝑋

Proof of Theorem bpolyval
Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑛 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6158 . . . . . 6 (#‘dom 𝑐) ∈ V
2 oveq2 6612 . . . . . . 7 (𝑛 = (#‘dom 𝑐) → (𝑋𝑛) = (𝑋↑(#‘dom 𝑐)))
3 oveq1 6611 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (#‘dom 𝑐) → (𝑛C𝑚) = ((#‘dom 𝑐)C𝑚))
4 oveq1 6611 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (#‘dom 𝑐) → (𝑛𝑚) = ((#‘dom 𝑐) − 𝑚))
54oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (#‘dom 𝑐) → ((𝑛𝑚) + 1) = (((#‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))
65oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (#‘dom 𝑐) → ((𝑐𝑚) / ((𝑛𝑚) + 1)) = ((𝑐𝑚) / (((#‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))
73, 6oveq12d 6622 . . . . . . . 8 (𝑛 = (#‘dom 𝑐) → ((𝑛C𝑚) · ((𝑐𝑚) / ((𝑛𝑚) + 1))) = (((#‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐𝑚) / (((#‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))
87sumeq2sdv 14368 . . . . . . 7 (𝑛 = (#‘dom 𝑐) → Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐𝑚) / ((𝑛𝑚) + 1))) = Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((#‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐𝑚) / (((#‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))
92, 8oveq12d 6622 . . . . . 6 (𝑛 = (#‘dom 𝑐) → ((𝑋𝑛) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐𝑚) / ((𝑛𝑚) + 1)))) = ((𝑋↑(#‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((#‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐𝑚) / (((#‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))))
101, 9csbie 3540 . . . . 5 (#‘dom 𝑐) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐𝑚) / ((𝑛𝑚) + 1)))) = ((𝑋↑(#‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((#‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐𝑚) / (((#‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))
11 oveq2 6612 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑘 → (𝑛C𝑚) = (𝑛C𝑘))
12 fveq2 6148 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑘 → (𝑐𝑚) = (𝑐𝑘))
13 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → (𝑛𝑚) = (𝑛𝑘))
1413oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑛𝑚) + 1) = ((𝑛𝑘) + 1))
1512, 14oveq12d 6622 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑐𝑚) / ((𝑛𝑚) + 1)) = ((𝑐𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))
1611, 15oveq12d 6622 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑛C𝑚) · ((𝑐𝑚) / ((𝑛𝑚) + 1))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝑐𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))
1716cbvsumv 14360 . . . . . . . 8 Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐𝑚) / ((𝑛𝑚) + 1))) = Σ𝑘 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑘) · ((𝑐𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))
18 dmeq 5284 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑔 → dom 𝑐 = dom 𝑔)
19 fveq1 6147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑔 → (𝑐𝑘) = (𝑔𝑘))
2019oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑔 → ((𝑐𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)) = ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))
2120oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑔 → ((𝑛C𝑘) · ((𝑐𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))
2221adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑐 = 𝑔𝑘 ∈ dom 𝑐) → ((𝑛C𝑘) · ((𝑐𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))
2318, 22sumeq12dv 14370 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑔 → Σ𝑘 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑘) · ((𝑐𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))
2417, 23syl5eq 2667 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑔 → Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐𝑚) / ((𝑛𝑚) + 1))) = Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))
2524oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑔 → ((𝑋𝑛) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐𝑚) / ((𝑛𝑚) + 1)))) = ((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
2625csbeq2dv 3964 . . . . 5 (𝑐 = 𝑔(#‘dom 𝑐) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐𝑚) / ((𝑛𝑚) + 1)))) = (#‘dom 𝑐) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
2710, 26syl5eqr 2669 . . . 4 (𝑐 = 𝑔 → ((𝑋↑(#‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((#‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐𝑚) / (((#‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))) = (#‘dom 𝑐) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
2818fveq2d 6152 . . . . 5 (𝑐 = 𝑔 → (#‘dom 𝑐) = (#‘dom 𝑔))
2928csbeq1d 3521 . . . 4 (𝑐 = 𝑔(#‘dom 𝑐) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = (#‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
3027, 29eqtrd 2655 . . 3 (𝑐 = 𝑔 → ((𝑋↑(#‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((#‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐𝑚) / (((#‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))) = (#‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
3130cbvmptv 4710 . 2 (𝑐 ∈ V ↦ ((𝑋↑(#‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((#‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐𝑚) / (((#‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))) = (𝑔 ∈ V ↦ (#‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
32 eqid 2621 . 2 wrecs( < , ℕ0, (𝑐 ∈ V ↦ ((𝑋↑(#‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((#‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐𝑚) / (((#‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))))) = wrecs( < , ℕ0, (𝑐 ∈ V ↦ ((𝑋↑(#‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((#‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐𝑚) / (((#‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))))
3331, 32bpolylem 14704 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  csb 3514  cmpt 4673  dom cdm 5074  cfv 5847  (class class class)co 6604  wrecscwrecs 7351  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cmin 10210   / cdiv 10628  0cn0 11236  ...cfz 12268  cexp 12800  Ccbc 13029  #chash 13057  Σcsu 14350   BernPoly cbp 14702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-seq 12742  df-hash 13058  df-sum 14351  df-bpoly 14703
This theorem is referenced by:  bpoly0  14706  bpoly1  14707  bpolycl  14708  bpolysum  14709  bpolydiflem  14710  bpoly2  14713  bpoly3  14714  bpoly4  14715
  Copyright terms: Public domain W3C validator