MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpos1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpos1 24903
Description: Bertrand's postulate, checked numerically for 𝑁 ≤ 64, using the prime sequence 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
bpos1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem bpos1
StepHypRef Expression
1 elnnuz 11668 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
2 ax-1 6 . . . 4 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
3 6nn0 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 ∈ ℕ0
4 4nn0 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ ℕ0
53, 4deccl 11456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 64 ∈ ℕ0
65nn0rei 11248 . . . . . . . . . . . . . . 15 64 ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 64 ∈ ℝ)
8 8nn0 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8 ∈ ℕ0
9 3nn0 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℕ0
108, 9deccl 11456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 83 ∈ ℕ0
1110nn0rei 11248 . . . . . . . . . . . . . . 15 83 ∈ ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 83 ∈ ℝ)
13 eluzelre 11642 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 𝑁 ∈ ℝ)
14 4lt10 11622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 < 10
15 6lt8 11161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 < 8
163, 8, 4, 9, 14, 15decltc 11476 . . . . . . . . . . . . . . 15 64 < 83
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 64 < 83)
18 eluzle 11644 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 83 ≤ 𝑁)
197, 12, 13, 17, 18ltletrd 10142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ83) → 64 < 𝑁)
20 ltnle 10062 . . . . . . . . . . . . . 14 ((64 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁64))
216, 13, 20sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ83) → (64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁64))
2219, 21mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ83) → ¬ 𝑁64)
2322pm2.21d 118 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ83) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
24 83prm 15749 . . . . . . . . . . 11 83 ∈ ℙ
254, 9deccl 11456 . . . . . . . . . . 11 43 ∈ ℕ0
26 2nn0 11254 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
27 eqid 2626 . . . . . . . . . . . 12 43 = 43
28 4t2e8 11126 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 2) = 8
29 3t2e6 11124 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 2) = 6
3026, 4, 9, 27, 3, 28, 29decmul1 11529 . . . . . . . . . . 11 (43 · 2) = 86
31 3lt10 11623 . . . . . . . . . . . 12 3 < 10
32 4lt8 11163 . . . . . . . . . . . 12 4 < 8
334, 8, 9, 9, 31, 32decltc 11476 . . . . . . . . . . 11 43 < 83
34 6nn 11134 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ ℕ
35 3lt6 11151 . . . . . . . . . . . . 13 3 < 6
368, 9, 34, 35declt 11474 . . . . . . . . . . . 12 83 < 86
3736orci 405 . . . . . . . . . . 11 (83 < 86 ∨ 83 = 86)
382, 23, 24, 25, 30, 33, 37bpos1lem 24902 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ43) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
39 43prm 15748 . . . . . . . . . 10 43 ∈ ℙ
4026, 9deccl 11456 . . . . . . . . . 10 23 ∈ ℕ0
41 eqid 2626 . . . . . . . . . . 11 23 = 23
42 2t2e4 11122 . . . . . . . . . . 11 (2 · 2) = 4
4326, 26, 9, 41, 3, 42, 29decmul1 11529 . . . . . . . . . 10 (23 · 2) = 46
44 2lt4 11143 . . . . . . . . . . 11 2 < 4
4526, 4, 9, 9, 31, 44decltc 11476 . . . . . . . . . 10 23 < 43
464, 9, 34, 35declt 11474 . . . . . . . . . . 11 43 < 46
4746orci 405 . . . . . . . . . 10 (43 < 46 ∨ 43 = 46)
482, 38, 39, 40, 43, 45, 47bpos1lem 24902 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ23) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
49 23prm 15745 . . . . . . . . 9 23 ∈ ℙ
50 1nn0 11253 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
5150, 9deccl 11456 . . . . . . . . 9 13 ∈ ℕ0
52 eqid 2626 . . . . . . . . . 10 13 = 13
53 2cn 11036 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
5453mulid2i 9988 . . . . . . . . . 10 (1 · 2) = 2
5526, 50, 9, 52, 3, 54, 29decmul1 11529 . . . . . . . . 9 (13 · 2) = 26
56 1lt2 11139 . . . . . . . . . 10 1 < 2
5750, 26, 9, 9, 31, 56decltc 11476 . . . . . . . . 9 13 < 23
5826, 9, 34, 35declt 11474 . . . . . . . . . 10 23 < 26
5958orci 405 . . . . . . . . 9 (23 < 26 ∨ 23 = 26)
602, 48, 49, 51, 55, 57, 59bpos1lem 24902 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ13) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
61 13prm 15742 . . . . . . . 8 13 ∈ ℙ
62 7nn0 11259 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
63 7t2e14 11592 . . . . . . . 8 (7 · 2) = 14
64 1nn 10976 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
65 7lt10 11619 . . . . . . . . 9 7 < 10
6664, 9, 62, 65declti 11490 . . . . . . . 8 7 < 13
67 4nn 11132 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ
68 3lt4 11142 . . . . . . . . . 10 3 < 4
6950, 9, 67, 68declt 11474 . . . . . . . . 9 13 < 14
7069orci 405 . . . . . . . 8 (13 < 14 ∨ 13 = 14)
712, 60, 61, 62, 63, 66, 70bpos1lem 24902 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘7) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
72 7prm 15736 . . . . . . 7 7 ∈ ℙ
73 5nn0 11257 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
74 5t2e10 11578 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
75 5lt7 11155 . . . . . . 7 5 < 7
7665orci 405 . . . . . . 7 (7 < 10 ∨ 7 = 10)
772, 71, 72, 73, 74, 75, 76bpos1lem 24902 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
78 5prm 15734 . . . . . 6 5 ∈ ℙ
79 3lt5 11146 . . . . . 6 3 < 5
80 5lt6 11149 . . . . . . 7 5 < 6
8180orci 405 . . . . . 6 (5 < 6 ∨ 5 = 6)
822, 77, 78, 9, 29, 79, 81bpos1lem 24902 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
83 3prm 15325 . . . . 5 3 ∈ ℙ
84 2lt3 11140 . . . . 5 2 < 3
8568orci 405 . . . . 5 (3 < 4 ∨ 3 = 4)
862, 82, 83, 26, 42, 84, 85bpos1lem 24902 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
87 2prm 15324 . . . 4 2 ∈ ℙ
88 eqid 2626 . . . . 5 2 = 2
8988olci 406 . . . 4 (2 < 2 ∨ 2 = 2)
902, 86, 87, 50, 54, 56, 89bpos1lem 24902 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
911, 90sylbi 207 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
9291imp 445 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wrex 2913   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   · cmul 9886   < clt 10019  cle 10020  cn 10965  2c2 11015  3c3 11016  4c4 11017  5c5 11018  6c6 11019  7c7 11020  8c8 11021  cdc 11437  cuz 11631  cprime 15304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-dvds 14903  df-prm 15305
This theorem is referenced by:  bpos  24913
  Copyright terms: Public domain W3C validator