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Theorem bposlem2 24727
Description: There are no odd primes in the range (2𝑁 / 3, 𝑁] dividing the 𝑁-th central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bposlem2.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
bposlem2.2 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
bposlem2.3 (𝜑 → 2 < 𝑃)
bposlem2.4 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃)
bposlem2.5 (𝜑𝑃𝑁)
Assertion
Ref Expression
bposlem2 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)

Proof of Theorem bposlem2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bposlem2.1 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 bposlem2.2 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
3 pcbcctr 24718 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
41, 2, 3syl2anc 690 . 2 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
5 elfznn 12196 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
6 elnn1uz2 11597 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘2)))
75, 6sylib 206 . . . . 5 (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘2)))
8 oveq2 6535 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃↑1))
9 prmnn 15172 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
102, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
1110nncnd 10883 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
1211exp1d 12820 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
138, 12sylan9eqr 2665 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = 1) → (𝑃𝑘) = 𝑃)
1413oveq2d 6543 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = 1) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) = ((2 · 𝑁) / 𝑃))
1514fveq2d 6092 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 1) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) = (⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)))
16 2t1e2 11023 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 1) = 2
1711mulid2d 9914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 · 𝑃) = 𝑃)
18 bposlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃𝑁)
1917, 18eqbrtrd 4599 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 · 𝑃) ≤ 𝑁)
20 1red 9911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
211nnred 10882 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2210nnred 10882 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
2310nngt0d 10911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < 𝑃)
24 lemuldiv 10752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → ((1 · 𝑃) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / 𝑃)))
2520, 21, 22, 23, 24syl112anc 1321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((1 · 𝑃) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / 𝑃)))
2619, 25mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ (𝑁 / 𝑃))
2721, 10nndivred 10916 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ)
28 1re 9895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
29 2re 10937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
30 2pos 10959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 2
3129, 30pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
32 lemul2 10725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ↔ (2 · 1) ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃))))
3328, 31, 32mp3an13 1406 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ↔ (2 · 1) ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃))))
3427, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ↔ (2 · 1) ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃))))
3526, 34mpbid 220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · 1) ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃)))
3616, 35syl5eqbrr 4613 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃)))
37 2cnd 10940 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
381nncnd 10883 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3910nnne0d 10912 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ≠ 0)
4037, 38, 11, 39divassd 10685 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) = (2 · (𝑁 / 𝑃)))
4136, 40breqtrrd 4605 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 𝑃))
42 bposlem2.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃)
43 2nn 11032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ
44 nnmulcl 10890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
4543, 1, 44sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
4645nnred 10882 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
47 3re 10941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ
48 3pos 10961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 3
4947, 48pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
50 ltdiv23 10763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3))
5149, 50mp3an2 1403 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3))
5246, 22, 23, 51syl12anc 1315 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3))
5342, 52mpbid 220 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3)
54 df-3 10927 . . . . . . . . . . . 12 3 = (2 + 1)
5553, 54syl6breq 4618 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) < (2 + 1))
5646, 10nndivred 10916 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) ∈ ℝ)
57 2z 11242 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
58 flbi 12434 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 · 𝑁) / 𝑃) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)) = 2 ↔ (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 𝑃) ∧ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < (2 + 1))))
5956, 57, 58sylancl 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)) = 2 ↔ (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 𝑃) ∧ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < (2 + 1))))
6041, 55, 59mpbir2and 958 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)) = 2)
6160adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 1) → (⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)) = 2)
6215, 61eqtrd 2643 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 1) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) = 2)
6313oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 = 1) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) = (𝑁 / 𝑃))
6463fveq2d 6092 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = 1) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) = (⌊‘(𝑁 / 𝑃)))
65 remulcl 9877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ) → (2 · (𝑁 / 𝑃)) ∈ ℝ)
6629, 27, 65sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) ∈ ℝ)
6747a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
68 4re 10944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℝ
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
7040, 53eqbrtrrd 4601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) < 3)
71 3lt4 11044 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 < 4
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 3 < 4)
7366, 67, 69, 70, 72lttrd 10049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) < 4)
74 2t2e4 11024 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 2) = 4
7573, 74syl6breqr 4619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2))
76 ltmul2 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 / 𝑃) < 2 ↔ (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2)))
7729, 31, 76mp3an23 1407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ → ((𝑁 / 𝑃) < 2 ↔ (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2)))
7827, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑁 / 𝑃) < 2 ↔ (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2)))
7975, 78mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) < 2)
80 df-2 10926 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = (1 + 1)
8179, 80syl6breq 4618 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) < (1 + 1))
82 1z 11240 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
83 flbi 12434 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / 𝑃)) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ∧ (𝑁 / 𝑃) < (1 + 1))))
8427, 82, 83sylancl 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⌊‘(𝑁 / 𝑃)) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ∧ (𝑁 / 𝑃) < (1 + 1))))
8526, 81, 84mpbir2and 958 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌊‘(𝑁 / 𝑃)) = 1)
8685adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = 1) → (⌊‘(𝑁 / 𝑃)) = 1)
8764, 86eqtrd 2643 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = 1) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) = 1)
8887oveq2d 6543 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 1) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = (2 · 1))
8988, 16syl6eq 2659 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 1) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = 2)
9062, 89oveq12d 6545 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 1) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = (2 − 2))
91 2cn 10938 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
9291subidi 10203 . . . . . . 7 (2 − 2) = 0
9390, 92syl6eq 2659 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 1) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = 0)
9445nnrpd 11702 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
9594adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
96 eluzge2nn0 11559 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 𝑘 ∈ ℕ0)
97 nnexpcl 12690 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
9810, 96, 97syl2an 492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
9998nnrpd 11702 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ+)
10095, 99rpdivcld 11721 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ+)
101100rpge0d 11708 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)))
10246adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
103 remulcl 9877 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (3 · 𝑃) ∈ ℝ)
10447, 22, 103sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (3 · 𝑃) ∈ ℝ)
105104adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (3 · 𝑃) ∈ ℝ)
10698nnred 10882 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)
107 ltdivmul 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃)))
10849, 107mp3an3 1404 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃)))
10946, 22, 108syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃)))
11042, 109mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃))
111110adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃))
11222, 22remulcld 9926 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
113112adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
114 bposlem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 2 < 𝑃)
115 nnltp1le 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (2 < 𝑃 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑃))
11643, 10, 115sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 < 𝑃 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑃))
117114, 116mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 + 1) ≤ 𝑃)
11854, 117syl5eqbr 4612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 3 ≤ 𝑃)
119 lemul1 10724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (3 ≤ 𝑃 ↔ (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃)))
12047, 119mp3an1 1402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (3 ≤ 𝑃 ↔ (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃)))
12122, 22, 23, 120syl12anc 1315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (3 ≤ 𝑃 ↔ (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃)))
122118, 121mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃))
123122adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃))
12411sqvald 12822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
125124adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
12622adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑃 ∈ ℝ)
12710nnge1d 10910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ≤ 𝑃)
128127adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 1 ≤ 𝑃)
129 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘2))
130126, 128, 129leexp2ad 12858 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃↑2) ≤ (𝑃𝑘))
131125, 130eqbrtrrd 4601 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃 · 𝑃) ≤ (𝑃𝑘))
132105, 113, 106, 123, 131letrd 10045 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (3 · 𝑃) ≤ (𝑃𝑘))
133102, 105, 106, 111, 132ltletrd 10048 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))
13498nncnd 10883 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃𝑘) ∈ ℂ)
135134mulid1d 9913 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑃𝑘) · 1) = (𝑃𝑘))
136133, 135breqtrrd 4605 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · 𝑁) < ((𝑃𝑘) · 1))
137 1red 9911 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 1 ∈ ℝ)
138102, 137, 99ltdivmuld 11755 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < 1 ↔ (2 · 𝑁) < ((𝑃𝑘) · 1)))
139136, 138mpbird 245 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < 1)
140 1e0p1 11384 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
141139, 140syl6breq 4618 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))
142100rpred 11704 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
143 0z 11221 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
144 flbi 12434 . . . . . . . . . 10 ((((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∧ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))))
145142, 143, 144sylancl 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∧ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))))
146101, 141, 145mpbir2and 958 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) = 0)
1471nnrpd 11702 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
148147adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
149148, 99rpdivcld 11721 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ+)
150149rpge0d 11708 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑘)))
15121adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ)
15221, 147ltaddrpd 11737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 < (𝑁 + 𝑁))
153382timesd 11122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
154152, 153breqtrrd 4605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 < (2 · 𝑁))
155154adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 < (2 · 𝑁))
156151, 102, 106, 155, 133lttrd 10049 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 < (𝑃𝑘))
157156, 135breqtrrd 4605 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 < ((𝑃𝑘) · 1))
158151, 137, 99ltdivmuld 11755 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑁 / (𝑃𝑘)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃𝑘) · 1)))
159157, 158mpbird 245 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) < 1)
160159, 140syl6breq 4618 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))
161149rpred 11704 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
162 flbi 12434 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∧ (𝑁 / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))))
163161, 143, 162sylancl 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∧ (𝑁 / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))))
164150, 160, 163mpbir2and 958 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) = 0)
165164oveq2d 6543 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = (2 · 0))
166 2t0e0 11030 . . . . . . . . 9 (2 · 0) = 0
167165, 166syl6eq 2659 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = 0)
168146, 167oveq12d 6545 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = (0 − 0))
169 0m0e0 10977 . . . . . . 7 (0 − 0) = 0
170168, 169syl6eq 2659 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = 0)
17193, 170jaodan 821 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘2))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = 0)
1727, 171sylan2 489 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = 0)
173172sumeq2dv 14227 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))0)
174 fzfid 12589 . . . 4 (𝜑 → (1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin)
175 sumz 14246 . . . . 5 (((1...(2 · 𝑁)) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))0 = 0)
176175olcs 408 . . . 4 ((1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))0 = 0)
177174, 176syl 17 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))0 = 0)
178173, 177eqtrd 2643 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = 0)
1794, 178eqtrd 2643 1 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wss 3539   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7818  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10533  cn 10867  2c2 10917  3c3 10918  4c4 10919  0cn0 11139  cz 11210  cuz 11519  +crp 11664  ...cfz 12152  cfl 12408  cexp 12677  Ccbc 12906  Σcsu 14210  cprime 15169   pCnt cpc 15325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-sum 14211  df-dvds 14768  df-gcd 15001  df-prm 15170  df-pc 15326
This theorem is referenced by:  bposlem3  24728
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