Theorem bposlem4 25865

Description: Lemma for bpos 25871. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpos.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘5))
bpos.2	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
bpos.3	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4	⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
bpos.5	⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))

Assertion

Ref	Expression
bposlem4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (3...𝐾))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝑛,𝑝,𝐾   𝑀,𝑝   𝑛,𝑁,𝑝   𝜑,𝑛,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem bposlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 11713	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		5nn 11726	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ
3		bpos.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘5))
4		eluznn 12321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	sylancr 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		nnmulcl 11664	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
7	1, 5, 6	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
8	7	nnred 11655	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
9	7	nnrpd 12432	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
10	9	rpge0d 12438	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑁))
11	8, 10	resqrtcld 14779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
12	11	flcld 13171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
13		sqrt9 14635	. . . . . 6 ⊢ (√‘9) = 3
14		9re 11739	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
16		10re 12120	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;10 ∈ ℝ)
18		lep1 11483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 ∈ ℝ → 9 ≤ (9 + 1))
19	14, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ≤ (9 + 1)
20		9p1e10 12103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 + 1) = ;10
21	19, 20	breqtri 5093	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ≤ ;10
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ ;10)
23		5cn 11728	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℂ
24		2cn 11715	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		5t2e10 12201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 2) = ;10
26	23, 24, 25	mulcomli 10652	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 5) = ;10
27		eluzle 12259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 5 ≤ 𝑁)
28	3, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 5 ≤ 𝑁)
29	5	nnred 11655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
30		5re 11727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℝ
31		2re 11714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
32		2pos 11743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
33	31, 32	pm3.2i 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
34		lemul2 11495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
35	30, 33, 34	mp3an13 1448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
36	29, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
37	28, 36	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁))
38	26, 37	eqbrtrrid 5104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;10 ≤ (2 · 𝑁))
39	15, 17, 8, 22, 38	letrd 10799	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ (2 · 𝑁))
40		0re 10645	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
41		9pos 11753	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 9
42	40, 14, 41	ltleii 10765	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 9
43	14, 42	pm3.2i 473	. . . . . . . 8 ⊢ (9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9)
44	9	rprege0d 12441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)))
45		sqrtle 14622	. . . . . . . 8 ⊢ (((9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9) ∧ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁))) → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
46	43, 44, 45	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
47	39, 46	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
48	13, 47	eqbrtrrid 5104	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
49		3z 12018	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
50		flge 13178	. . . . . 6 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
51	11, 49, 50	sylancl 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
52	48, 51	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))))
53	49	eluz1i 12254	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
54	12, 52, 53	sylanbrc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ≥‘3))
55		3nn 11719	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
56		nndivre 11681	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
57	8, 55, 56	sylancl 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
58		3re 11720	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
59	58	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
60	9	sqrtgt0d 14774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (√‘(2 · 𝑁)))
61		lemul2 11495	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (√‘(2 · 𝑁)))) → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁)))))
62	59, 11, 11, 60, 61	syl112anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁)))))
63	48, 62	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))))
64		remsqsqrt 14618	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)) → ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
65	8, 10, 64	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
66	63, 65	breqtrd 5094	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁))
67		3pos 11745	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
68	58, 67	pm3.2i 473	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
69	68	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
70		lemuldiv 11522	. . . . . 6 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
71	11, 8, 69, 70	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
72	66, 71	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
73		flword2 13186	. . . 4 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3)) → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
74	11, 57, 72, 73	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
75		elfzuzb 12905	. . 3 ⊢ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3))) ↔ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁))))))
76	54, 74, 75	sylanbrc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3))))
77		bpos.5	. 2 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
78		bpos.4	. . 3 ⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
79	78	oveq2i 7169	. 2 ⊢ (3...𝐾) = (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3)))
80	76, 77, 79	3eltr4g 2932	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (3...𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3141  ifcif 4469   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544   < clt 10677   ≤ cle 10678   / cdiv 11299  ℕcn 11640  2c2 11695  3c3 11696  5c5 11698  9c9 11702  ℤcz 11984  ;cdc 12101  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895  ⌊cfl 13163  ↑cexp 13432  Ccbc 13665  √csqrt 14594  ℙcprime 16017   pCnt cpc 16175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596

This theorem is referenced by:  bposlem6  25867