MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bposlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bposlem4 24912
Description: Lemma for bpos 24918. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘5))
bpos.2 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
bpos.3 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
bpos.5 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
Assertion
Ref Expression
bposlem4 (𝜑𝑀 ∈ (3...𝐾))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝑛,𝑝,𝐾   𝑀,𝑝   𝑛,𝑁,𝑝   𝜑,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem bposlem4
StepHypRef Expression
1 2nn 11129 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
2 5nn 11132 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ
3 bpos.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘5))
4 eluznn 11702 . . . . . . . . 9 ((5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ)
52, 3, 4sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 nnmulcl 10987 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
71, 5, 6sylancr 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
87nnred 10979 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
97nnrpd 11814 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
109rpge0d 11820 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑁))
118, 10resqrtcld 14090 . . . . 5 (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
1211flcld 12539 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
13 sqrt9 13948 . . . . . 6 (√‘9) = 3
14 9re 11051 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
16 10re 11461 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑10 ∈ ℝ)
18 lep1 10806 . . . . . . . . . . 11 (9 ∈ ℝ → 9 ≤ (9 + 1))
1914, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 9 ≤ (9 + 1)
20 9p1e10 11440 . . . . . . . . . 10 (9 + 1) = 10
2119, 20breqtri 4638 . . . . . . . . 9 9 ≤ 10
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 9 ≤ 10)
23 5cn 11044 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℂ
24 2cn 11035 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
25 5t2e10 11578 . . . . . . . . . 10 (5 · 2) = 10
2623, 24, 25mulcomli 9991 . . . . . . . . 9 (2 · 5) = 10
27 eluzle 11644 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → 5 ≤ 𝑁)
283, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 5 ≤ 𝑁)
295nnred 10979 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
30 5re 11043 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℝ
31 2re 11034 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
32 2pos 11056 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
3331, 32pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
34 lemul2 10820 . . . . . . . . . . . 12 ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
3530, 33, 34mp3an13 1412 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
3629, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
3728, 36mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁))
3826, 37syl5eqbrr 4649 . . . . . . . 8 (𝜑10 ≤ (2 · 𝑁))
3915, 17, 8, 22, 38letrd 10138 . . . . . . 7 (𝜑 → 9 ≤ (2 · 𝑁))
40 0re 9984 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
41 9pos 11066 . . . . . . . . . 10 0 < 9
4240, 14, 41ltleii 10104 . . . . . . . . 9 0 ≤ 9
4314, 42pm3.2i 471 . . . . . . . 8 (9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9)
449rprege0d 11823 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)))
45 sqrtle 13935 . . . . . . . 8 (((9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9) ∧ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁))) → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
4643, 44, 45sylancr 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
4739, 46mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
4813, 47syl5eqbrr 4649 . . . . 5 (𝜑 → 3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
49 3z 11354 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
50 flge 12546 . . . . . 6 (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
5111, 49, 50sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
5248, 51mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))))
5349eluz1i 11639 . . . 4 ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ‘3) ↔ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
5412, 52, 53sylanbrc 697 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ‘3))
55 3nn 11130 . . . . 5 3 ∈ ℕ
56 nndivre 11000 . . . . 5 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
578, 55, 56sylancl 693 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
58 3re 11038 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
5958a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
609sqrtgt0d 14085 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (√‘(2 · 𝑁)))
61 lemul2 10820 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (√‘(2 · 𝑁)))) → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁)))))
6259, 11, 11, 60, 61syl112anc 1327 . . . . . . 7 (𝜑 → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁)))))
6348, 62mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))))
64 remsqsqrt 13931 . . . . . . 7 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)) → ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
658, 10, 64syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
6663, 65breqtrd 4639 . . . . 5 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁))
67 3pos 11058 . . . . . . . 8 0 < 3
6858, 67pm3.2i 471 . . . . . . 7 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
6968a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
70 lemuldiv 10847 . . . . . 6 (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
7111, 8, 69, 70syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
7266, 71mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
73 flword2 12554 . . . 4 (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3)) → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
7411, 57, 72, 73syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
75 elfzuzb 12278 . . 3 ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3))) ↔ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ‘3) ∧ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁))))))
7654, 74, 75sylanbrc 697 . 2 (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3))))
77 bpos.5 . 2 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
78 bpos.4 . . 3 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
7978oveq2i 6615 . 2 (3...𝐾) = (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3)))
8076, 77, 793eltr4g 2715 1 (𝜑𝑀 ∈ (3...𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  ifcif 4058   class class class wbr 4613  cmpt 4673  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019   / cdiv 10628  cn 10964  2c2 11014  3c3 11015  5c5 11017  9c9 11021  cz 11321  cdc 11437  cuz 11631  ...cfz 12268  cfl 12531  cexp 12800  Ccbc 13029  csqrt 13907  cprime 15309   pCnt cpc 15465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909
This theorem is referenced by:  bposlem6  24914
  Copyright terms: Public domain W3C validator