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Theorem bposlem5 25058
Description: Lemma for bpos 25063. Bound the product of all small primes in the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘5))
bpos.2 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
bpos.3 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
bpos.5 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
Assertion
Ref Expression
bposlem5 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝑛,𝑝,𝐾   𝑀,𝑝   𝑛,𝑁,𝑝   𝜑,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem bposlem5
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bpos.3 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
2 id 22 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℙ)
3 5nn 11226 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℕ
4 bpos.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘5))
5 eluznn 11796 . . . . . . . . . . 11 ((5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ)
63, 4, 5sylancr 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
76nnnn0d 11389 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
8 fzctr 12490 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
9 bccl2 13150 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
11 pccl 15601 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
122, 10, 11syl2anr 494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
1312ralrimiva 2995 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
141, 13pcmptcl 15642 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
1514simprd 478 . . . 4 (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
16 3nn 11224 . . . . 5 3 ∈ ℕ
17 bpos.5 . . . . . 6 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
18 2z 11447 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
196nnzd 11519 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
20 zmulcl 11464 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
2118, 19, 20sylancr 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
2221zred 11520 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
23 2nn 11223 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
24 nnmulcl 11081 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
2523, 6, 24sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
2625nnrpd 11908 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
2726rpge0d 11914 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑁))
2822, 27resqrtcld 14200 . . . . . . . 8 (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
2928flcld 12639 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
30 sqrt9 14058 . . . . . . . . 9 (√‘9) = 3
31 9re 11145 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
33 10re 11555 . . . . . . . . . . . 12 10 ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑10 ∈ ℝ)
35 lep1 10900 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 ∈ ℝ → 9 ≤ (9 + 1))
3631, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 9 ≤ (9 + 1)
37 9p1e10 11534 . . . . . . . . . . . . 13 (9 + 1) = 10
3836, 37breqtri 4710 . . . . . . . . . . . 12 9 ≤ 10
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 9 ≤ 10)
40 5cn 11138 . . . . . . . . . . . . 13 5 ∈ ℂ
41 2cn 11129 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
42 5t2e10 11672 . . . . . . . . . . . . 13 (5 · 2) = 10
4340, 41, 42mulcomli 10085 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 5) = 10
44 eluzle 11738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → 5 ≤ 𝑁)
454, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 5 ≤ 𝑁)
466nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
47 5re 11137 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ∈ ℝ
48 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
49 2pos 11150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 2
5048, 49pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
51 lemul2 10914 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
5247, 50, 51mp3an13 1455 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℝ → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
5346, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
5445, 53mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁))
5543, 54syl5eqbrr 4721 . . . . . . . . . . 11 (𝜑10 ≤ (2 · 𝑁))
5632, 34, 22, 39, 55letrd 10232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 9 ≤ (2 · 𝑁))
57 0re 10078 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
58 9pos 11160 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 9
5957, 31, 58ltleii 10198 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 9
6031, 59pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9)
6122, 27jca 553 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)))
62 sqrtle 14045 . . . . . . . . . . 11 (((9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9) ∧ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁))) → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
6360, 61, 62sylancr 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
6456, 63mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
6530, 64syl5eqbrr 4721 . . . . . . . 8 (𝜑 → 3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
66 3z 11448 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
67 flge 12646 . . . . . . . . 9 (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
6828, 66, 67sylancl 695 . . . . . . . 8 (𝜑 → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
6965, 68mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))))
7066eluz1i 11733 . . . . . . 7 ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ‘3) ↔ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
7129, 69, 70sylanbrc 699 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ‘3))
7217, 71syl5eqel 2734 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘3))
73 eluznn 11796 . . . . 5 ((3 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑀 ∈ ℕ)
7416, 72, 73sylancr 696 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
7515, 74ffvelrnd 6400 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
7675nnred 11073 . 2 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ)
7774nnred 11073 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
78 ppicl 24902 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ → (π𝑀) ∈ ℕ0)
7977, 78syl 17 . . . 4 (𝜑 → (π𝑀) ∈ ℕ0)
8025, 79nnexpcld 13070 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(π𝑀)) ∈ ℕ)
8180nnred 11073 . 2 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(π𝑀)) ∈ ℝ)
82 nndivre 11094 . . . . 5 (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
8328, 16, 82sylancl 695 . . . 4 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
84 readdcl 10057 . . . 4 ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
8583, 48, 84sylancl 695 . . 3 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
8622, 27, 85recxpcld 24514 . 2 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) ∈ ℝ)
87 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘1))
88 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (π𝑥) = (π‘1))
89 ppi1 24935 . . . . . . . 8 (π‘1) = 0
9088, 89syl6eq 2701 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (π𝑥) = 0)
9190oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑁)↑(π𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑0))
9287, 91breq12d 4698 . . . . 5 (𝑥 = 1 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ ((2 · 𝑁)↑0)))
9392imbi2d 329 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ ((2 · 𝑁)↑0))))
94 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
95 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (π𝑥) = (π𝑘))
9695oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → ((2 · 𝑁)↑(π𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑(π𝑘)))
9794, 96breq12d 4698 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑘))))
9897imbi2d 329 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑘)))))
99 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
100 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (π𝑥) = (π‘(𝑘 + 1)))
101100oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((2 · 𝑁)↑(π𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))
10299, 101breq12d 4698 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
103102imbi2d 329 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))))
104 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))
105 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (π𝑥) = (π𝑀))
106105oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → ((2 · 𝑁)↑(π𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑(π𝑀)))
107104, 106breq12d 4698 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑀))))
108107imbi2d 329 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑀)))))
109 1z 11445 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
110 seq1 12854 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
111109, 110ax-mp 5 . . . . . . 7 (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1)
112 1nn 11069 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
113 1nprm 15439 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1 ∈ ℙ
114 eleq1 2718 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
115113, 114mtbiri 316 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → ¬ 𝑛 ∈ ℙ)
116115iffalsed 4130 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = 1)
117 1ex 10073 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
118116, 1, 117fvmpt 6321 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℕ → (𝐹‘1) = 1)
119112, 118ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐹‘1) = 1
120111, 119eqtri 2673 . . . . . 6 (seq1( · , 𝐹)‘1) = 1
121 1le1 10693 . . . . . 6 1 ≤ 1
122120, 121eqbrtri 4706 . . . . 5 (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ 1
12321zcnd 11521 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
124123exp0d 13042 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑0) = 1)
125122, 124syl5breqr 4723 . . . 4 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ ((2 · 𝑁)↑0))
12615ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ)
127126nnred 11073 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
128127adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
12925ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
130 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
131130ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℝ)
132 ppicl 24902 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℝ → (π𝑘) ∈ ℕ0)
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π𝑘) ∈ ℕ0)
134129, 133nnexpcld 13070 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) ∈ ℕ)
135134nnred 11073 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) ∈ ℝ)
136 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
137 nngt0 11087 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑁))
138136, 137jca 553 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
13925, 138syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
140139ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
141 lemul1 10913 . . . . . . . . . 10 (((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁))) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) · (2 · 𝑁))))
142128, 135, 140, 141syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) · (2 · 𝑁))))
143 nnz 11437 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
144143adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
145 ppiprm 24922 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = ((π𝑘) + 1))
146144, 145sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = ((π𝑘) + 1))
147146oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) = ((2 · 𝑁)↑((π𝑘) + 1)))
148123ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
149148, 133expp1d 13049 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑((π𝑘) + 1)) = (((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) · (2 · 𝑁)))
150147, 149eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) = (((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) · (2 · 𝑁)))
151150breq2d 4697 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) · (2 · 𝑁))))
152142, 151bitr4d 271 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
153 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
154 nnuz 11761 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
155153, 154syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
156 seqp1 12856 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
157155, 156syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
158157adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
159 peano2nn 11070 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
160159adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
161 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 ∈ ℙ ↔ (𝑘 + 1) ∈ ℙ))
162 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑘 + 1) → 𝑛 = (𝑘 + 1))
163 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = ((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
164162, 163oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) = ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
165161, 164ifbieq1d 4142 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑘 + 1) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
166 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ V
167166, 117ifex 4189 . . . . . . . . . . . . . . 15 if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) ∈ V
168165, 1, 167fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
169160, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
170 iftrue 4125 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 + 1) ∈ ℙ → if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
171169, 170sylan9eq 2705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
1726adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
173 bposlem1 25054 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
174172, 173sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
175171, 174eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (2 · 𝑁))
17614simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℕ)
177 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
178176, 159, 177syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
179178nnred 11073 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
180179adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
18122ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
182 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
183 nngt0 11087 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
184182, 183jca 553 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
185126, 184syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
186185adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
187 lemul2 10914 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (2 · 𝑁) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁))))
188180, 181, 186, 187syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (2 · 𝑁) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁))))
189175, 188mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)))
190158, 189eqbrtrd 4707 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)))
191 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
19215, 159, 191syl2an 493 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
193192nnred 11073 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
19425adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
195126, 194nnmulcld 11106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
196195nnred 11073 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
197160nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
198 ppicl 24902 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 + 1) ∈ ℝ → (π‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
199197, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (π‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
200194, 199nnexpcld 13070 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ∈ ℕ)
201200nnred 11073 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
202 letr 10169 . . . . . . . . . . 11 (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ) → (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
203193, 196, 201, 202syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
204203adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
205190, 204mpand 711 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
206152, 205sylbid 230 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
207157adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
208 iffalse 4128 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ → if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = 1)
209169, 208sylan9eq 2705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 1)
210209oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · 1))
211126adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ)
212211nncnd 11074 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
213212mulid1d 10095 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · 1) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
214207, 210, 2133eqtrd 2689 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
215 ppinprm 24923 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = (π𝑘))
216144, 215sylan 487 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = (π𝑘))
217216oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) = ((2 · 𝑁)↑(π𝑘)))
218214, 217breq12d 4698 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑘))))
219218biimprd 238 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
220206, 219pm2.61dan 849 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
221220expcom 450 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))))
222221a2d 29 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑘))) → (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))))
22393, 98, 103, 108, 125, 222nnind 11076 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑀))))
22474, 223mpcom 38 . 2 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑀)))
225 cxpexp 24459 . . . 4 (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (π𝑀) ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑁)↑𝑐(π𝑀)) = ((2 · 𝑁)↑(π𝑀)))
226123, 79, 225syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑐(π𝑀)) = ((2 · 𝑁)↑(π𝑀)))
22779nn0red 11390 . . . . 5 (𝜑 → (π𝑀) ∈ ℝ)
228 nndivre 11094 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (𝑀 / 3) ∈ ℝ)
22977, 16, 228sylancl 695 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 / 3) ∈ ℝ)
230 readdcl 10057 . . . . . 6 (((𝑀 / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝑀 / 3) + 2) ∈ ℝ)
231229, 48, 230sylancl 695 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 / 3) + 2) ∈ ℝ)
23274nnnn0d 11389 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
233232nn0ge0d 11392 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
234 ppiub 24974 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (π𝑀) ≤ ((𝑀 / 3) + 2))
23577, 233, 234syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (π𝑀) ≤ ((𝑀 / 3) + 2))
23648a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
237 flle 12640 . . . . . . . . 9 ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
23828, 237syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
23917, 238syl5eqbr 4720 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
240 3re 11132 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
241 3pos 11152 . . . . . . . . . 10 0 < 3
242240, 241pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
243242a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
244 lediv1 10926 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (𝑀 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ (𝑀 / 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) / 3)))
24577, 28, 243, 244syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ (𝑀 / 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) / 3)))
246239, 245mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 / 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) / 3))
247229, 83, 236, 246leadd1dd 10679 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 / 3) + 2) ≤ (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2))
248227, 231, 85, 235, 247letrd 10232 . . . 4 (𝜑 → (π𝑀) ≤ (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2))
249 2t1e2 11214 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
2506nnge1d 11101 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
251 1re 10077 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
252 lemul2 10914 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
253251, 50, 252mp3an13 1455 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
25446, 253syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
255250, 254mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁))
256249, 255syl5eqbrr 4721 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ≤ (2 · 𝑁))
25718eluz1i 11733 . . . . . . 7 ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (2 · 𝑁)))
25821, 256, 257sylanbrc 699 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ (ℤ‘2))
259 eluz2gt1 11798 . . . . . 6 ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ‘2) → 1 < (2 · 𝑁))
260258, 259syl 17 . . . . 5 (𝜑 → 1 < (2 · 𝑁))
26122, 260, 227, 85cxpled 24511 . . . 4 (𝜑 → ((π𝑀) ≤ (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ↔ ((2 · 𝑁)↑𝑐(π𝑀)) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2))))
262248, 261mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑐(π𝑀)) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))
263226, 262eqbrtrrd 4709 . 2 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(π𝑀)) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))
26476, 81, 86, 224, 263letrd 10232 1 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  5c5 11111  9c9 11115  0cn0 11330  cz 11415  cdc 11531  cuz 11725  ...cfz 12364  cfl 12631  seqcseq 12841  cexp 12900  Ccbc 13129  csqrt 14017  cprime 15432   pCnt cpc 15588  𝑐ccxp 24347  πcppi 24865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349  df-ppi 24871
This theorem is referenced by:  bposlem6  25059
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