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Theorem bposlem6 24927
Description: Lemma for bpos 24931. By using the various bounds at our disposal, arrive at an inequality that is false for 𝑁 large enough. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.) (Revised by Wolf Lammen, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘5))
bpos.2 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
bpos.3 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
bpos.5 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
Assertion
Ref Expression
bposlem6 (𝜑 → ((4↑𝑁) / 𝑁) < (((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝑛,𝑝,𝐾   𝑀,𝑝   𝑛,𝑁,𝑝   𝜑,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem bposlem6
StepHypRef Expression
1 4nn 11138 . . . . 5 4 ∈ ℕ
2 5nn 11139 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ
3 bpos.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘5))
4 eluznn 11709 . . . . . . 7 ((5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ)
52, 3, 4sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65nnnn0d 11302 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
7 nnexpcl 12820 . . . . 5 ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (4↑𝑁) ∈ ℕ)
81, 6, 7sylancr 694 . . . 4 (𝜑 → (4↑𝑁) ∈ ℕ)
98nnred 10986 . . 3 (𝜑 → (4↑𝑁) ∈ ℝ)
109, 5nndivred 11020 . 2 (𝜑 → ((4↑𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
11 fzctr 12399 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
126, 11syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
13 bccl2 13057 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
1514nnred 10986 . 2 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ)
16 2nn 11136 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
17 nnmulcl 10994 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
1816, 5, 17sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
1918nnrpd 11821 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
2018nnred 10986 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
2119rpge0d 11827 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑁))
2220, 21resqrtcld 14097 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
23 3nn 11137 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
24 nndivre 11007 . . . . . . 7 (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
2522, 23, 24sylancl 693 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
26 2re 11041 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
27 readdcl 9970 . . . . . 6 ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
2825, 26, 27sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
2919, 28rpcxpcld 24389 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) ∈ ℝ+)
3029rpred 11823 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) ∈ ℝ)
31 2rp 11788 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
32 nnmulcl 10994 . . . . . . . . 9 ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (4 · 𝑁) ∈ ℕ)
331, 5, 32sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4 · 𝑁) ∈ ℕ)
3433nnred 10986 . . . . . . 7 (𝜑 → (4 · 𝑁) ∈ ℝ)
35 nndivre 11007 . . . . . . 7 (((4 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
3634, 23, 35sylancl 693 . . . . . 6 (𝜑 → ((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
37 5re 11050 . . . . . 6 5 ∈ ℝ
38 resubcl 10296 . . . . . 6 ((((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ) → (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℝ)
3936, 37, 38sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℝ)
40 rpcxpcl 24335 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℝ) → (2↑𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)) ∈ ℝ+)
4131, 39, 40sylancr 694 . . . 4 (𝜑 → (2↑𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)) ∈ ℝ+)
4241rpred 11823 . . 3 (𝜑 → (2↑𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)) ∈ ℝ)
4330, 42remulcld 10021 . 2 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))) ∈ ℝ)
44 df-5 11033 . . . . 5 5 = (4 + 1)
45 4z 11362 . . . . . 6 4 ∈ ℤ
46 uzid 11653 . . . . . 6 (4 ∈ ℤ → 4 ∈ (ℤ‘4))
47 peano2uz 11692 . . . . . 6 (4 ∈ (ℤ‘4) → (4 + 1) ∈ (ℤ‘4))
4845, 46, 47mp2b 10 . . . . 5 (4 + 1) ∈ (ℤ‘4)
4944, 48eqeltri 2694 . . . 4 5 ∈ (ℤ‘4)
50 eqid 2621 . . . . 5 (ℤ‘4) = (ℤ‘4)
5150uztrn2 11656 . . . 4 ((5 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘5)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘4))
5249, 3, 51sylancr 694 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘4))
53 bclbnd 24918 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁))
5452, 53syl 17 . 2 (𝜑 → ((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁))
55 bpos.3 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
56 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℙ)
57 pccl 15485 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
5856, 14, 57syl2anr 495 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
5958ralrimiva 2961 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
6055, 59pcmptcl 15526 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
6160simprd 479 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
62 bpos.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
63 bpos.4 . . . . . . . . 9 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
64 bpos.5 . . . . . . . . 9 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
653, 62, 55, 63, 64bposlem4 24925 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ (3...𝐾))
66 elfzuz 12287 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (3...𝐾) → 𝑀 ∈ (ℤ‘3))
6765, 66syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘3))
68 eluznn 11709 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑀 ∈ ℕ)
6923, 67, 68sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
7061, 69ffvelrnd 6321 . . . . 5 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
7170nnred 10986 . . . 4 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ)
72 2z 11360 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
73 nndivre 11007 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
7420, 23, 73sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
7574flcld 12546 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ ℤ)
7663, 75syl5eqel 2702 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
77 zmulcl 11377 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
7872, 76, 77sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
792nnzi 11352 . . . . . . . 8 5 ∈ ℤ
80 zsubcl 11370 . . . . . . . 8 (((2 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → ((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℤ)
8178, 79, 80sylancl 693 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℤ)
8281zred 11433 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℝ)
83 rpcxpcl 24335 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ+ ∧ ((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℝ) → (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ∈ ℝ+)
8431, 82, 83sylancr 694 . . . . 5 (𝜑 → (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ∈ ℝ+)
8584rpred 11823 . . . 4 (𝜑 → (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ∈ ℝ)
8671, 85remulcld 10021 . . 3 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ∈ ℝ)
873, 62, 55, 63bposlem3 24924 . . . 4 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁))
88 elfzuz3 12288 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (3...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
8965, 88syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
9055, 59, 69, 89pcmptdvds 15529 . . . . . . . 8 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝐾))
9170nnzd 11432 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ)
9270nnne0d 11016 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
93 uztrn 11655 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝐾 ∈ (ℤ‘3))
9489, 67, 93syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘3))
95 eluznn 11709 . . . . . . . . . . . 12 ((3 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘3)) → 𝐾 ∈ ℕ)
9623, 94, 95sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
9761, 96ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ)
9897nnzd 11432 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℤ)
99 dvdsval2 14917 . . . . . . . . 9 (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0 ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℤ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∈ ℤ))
10091, 92, 98, 99syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∈ ℤ))
10190, 100mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∈ ℤ)
102101zred 11433 . . . . . 6 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∈ ℝ)
10369nnred 10986 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
10476zred 11433 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
105 eluzle 11651 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝐾)
10689, 105syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀𝐾)
107 efchtdvds 24798 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐾) → (exp‘(θ‘𝑀)) ∥ (exp‘(θ‘𝐾)))
108103, 104, 106, 107syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (𝜑 → (exp‘(θ‘𝑀)) ∥ (exp‘(θ‘𝐾)))
109 efchtcl 24750 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ → (exp‘(θ‘𝑀)) ∈ ℕ)
110103, 109syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(θ‘𝑀)) ∈ ℕ)
111110nnzd 11432 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(θ‘𝑀)) ∈ ℤ)
112110nnne0d 11016 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(θ‘𝑀)) ≠ 0)
113 efchtcl 24750 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℝ → (exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℕ)
114104, 113syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℕ)
115114nnzd 11432 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℤ)
116 dvdsval2 14917 . . . . . . . . 9 (((exp‘(θ‘𝑀)) ∈ ℤ ∧ (exp‘(θ‘𝑀)) ≠ 0 ∧ (exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℤ) → ((exp‘(θ‘𝑀)) ∥ (exp‘(θ‘𝐾)) ↔ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℤ))
117111, 112, 115, 116syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝑀)) ∥ (exp‘(θ‘𝐾)) ↔ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℤ))
118108, 117mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℤ)
119118zred 11433 . . . . . 6 (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℝ)
120 prmz 15320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
121 fllt 12554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → ((√‘(2 · 𝑁)) < 𝑝 ↔ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) < 𝑝))
12222, 120, 121syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((√‘(2 · 𝑁)) < 𝑝 ↔ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) < 𝑝))
12364breq1i 4625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 < 𝑝 ↔ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) < 𝑝)
124122, 123syl6bbr 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((√‘(2 · 𝑁)) < 𝑝𝑀 < 𝑝))
125120zred 11433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
126 ltnle 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝𝑀))
127103, 125, 126syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝𝑀))
128124, 127bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((√‘(2 · 𝑁)) < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝𝑀))
129 bposlem1 24922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
1305, 129sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
131125adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
132 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
133 pccl 15485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
134132, 14, 133syl2anr 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
135131, 134reexpcld 12972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ)
13620adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
137131resqcld 12982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑2) ∈ ℝ)
138 lelttr 10079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑝↑2) ∈ ℝ) → (((𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑝↑2)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) < (𝑝↑2)))
139135, 136, 137, 138syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑝↑2)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) < (𝑝↑2)))
140130, 139mpand 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁) < (𝑝↑2) → (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) < (𝑝↑2)))
141 resqrtth 13937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)) → ((√‘(2 · 𝑁))↑2) = (2 · 𝑁))
14220, 21, 141syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁))↑2) = (2 · 𝑁))
143142breq1d 4628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁))↑2) < (𝑝↑2) ↔ (2 · 𝑁) < (𝑝↑2)))
144143adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (((√‘(2 · 𝑁))↑2) < (𝑝↑2) ↔ (2 · 𝑁) < (𝑝↑2)))
145134nn0zd 11431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ)
14672a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 2 ∈ ℤ)
147 prmgt1 15340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ ℙ → 1 < 𝑝)
148147adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 1 < 𝑝)
149131, 145, 146, 148ltexp2d 12985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < 2 ↔ (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) < (𝑝↑2)))
150140, 144, 1493imtr4d 283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (((√‘(2 · 𝑁))↑2) < (𝑝↑2) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < 2))
151 df-2 11030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 = (1 + 1)
152151breq2i 4626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < 2 ↔ (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < (1 + 1))
153150, 152syl6ib 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (((√‘(2 · 𝑁))↑2) < (𝑝↑2) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < (1 + 1)))
15422adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
15520, 21sqrtge0d 14100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
156155adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
157 prmnn 15319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
158157nnrpd 11821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ+)
159158rpge0d 11827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ ℙ → 0 ≤ 𝑝)
160159adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝑝)
161154, 131, 156, 160lt2sqd 12990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((√‘(2 · 𝑁)) < 𝑝 ↔ ((√‘(2 · 𝑁))↑2) < (𝑝↑2)))
162 1z 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℤ
163 zleltp1 11379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ 1 ↔ (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < (1 + 1)))
164145, 162, 163sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ 1 ↔ (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) < (1 + 1)))
165153, 161, 1643imtr4d 283 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((√‘(2 · 𝑁)) < 𝑝 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ 1))
166128, 165sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝𝑀 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ 1))
167166imp 445 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝𝑀) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ 1)
168167adantrl 751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀)) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ 1)
169 iftrue 4069 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀) → if((𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
170169adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀)) → if((𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
171 iftrue 4069 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀) → if((𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀), 1, 0) = 1)
172171adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀)) → if((𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀), 1, 0) = 1)
173168, 170, 1723brtr4d 4650 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀)) → if((𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) ≤ if((𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀), 1, 0))
174 0le0 11061 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 0
175 iffalse 4072 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀) → if((𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = 0)
176 iffalse 4072 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀) → if((𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀), 1, 0) = 0)
177175, 176breq12d 4631 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀) → (if((𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) ≤ if((𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀), 1, 0) ↔ 0 ≤ 0))
178174, 177mpbiri 248 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀) → if((𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) ≤ if((𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀), 1, 0))
179178adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ (𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀)) → if((𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) ≤ if((𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀), 1, 0))
180173, 179pm2.61dan 831 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → if((𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) ≤ if((𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀), 1, 0))
18159adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
18269adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℕ)
183 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
184 oveq1 6617 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
18589adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
18655, 181, 182, 183, 184, 185pcmpt2 15528 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))) = if((𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀), (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0))
187 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
188187prmorcht 24817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝐾)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝐾))
18996, 188syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝐾))
190187prmorcht 24817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝑀)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑀))
19169, 190syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (exp‘(θ‘𝑀)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑀))
192189, 191oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) = ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝐾) / (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑀)))
193192adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) = ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝐾) / (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑀)))
194193oveq2d 6626 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))) = (𝑝 pCnt ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝐾) / (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑀))))
195 nncn 10979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
196195exp1d 12950 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑1) = 𝑛)
197196ifeq1d 4081 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1) = if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
198197mpteq2ia 4705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
199198eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑1), 1))
200 1nn0 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ0
201200a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℕ0)
202201ralrimiva 2961 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 1 ∈ ℕ0)
203202adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑛 ∈ ℙ 1 ∈ ℕ0)
204 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑝 → 1 = 1)
205199, 203, 182, 183, 204, 185pcmpt2 15528 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝐾) / (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1)))‘𝑀))) = if((𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀), 1, 0))
206194, 205eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))) = if((𝑝𝐾 ∧ ¬ 𝑝𝑀), 1, 0))
207180, 186, 2063brtr4d 4650 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))))
208207ralrimiva 2961 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))))
209 pc2dvds 15514 . . . . . . . . 9 ((((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∈ ℤ ∧ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℤ) → (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∥ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))))))
210101, 118, 209syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∥ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))) ≤ (𝑝 pCnt ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))))))
211208, 210mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∥ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))))
212114nnred 10986 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℝ)
213110nnred 10986 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(θ‘𝑀)) ∈ ℝ)
214114nngt0d 11015 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (exp‘(θ‘𝐾)))
215110nngt0d 11015 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (exp‘(θ‘𝑀)))
216212, 213, 214, 215divgt0d 10910 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))))
217 elnnz 11338 . . . . . . . . 9 (((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℕ ↔ (((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℤ ∧ 0 < ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))))
218118, 216, 217sylanbrc 697 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℕ)
219 dvdsle 14963 . . . . . . . 8 ((((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∈ ℤ ∧ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) ∈ ℕ) → (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∥ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ≤ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))))
220101, 218, 219syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ∥ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ≤ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀)))))
221211, 220mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) ≤ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))))
222 nndivre 11007 . . . . . . . 8 (((exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((exp‘(θ‘𝐾)) / 4) ∈ ℝ)
223212, 1, 222sylancl 693 . . . . . . 7 (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / 4) ∈ ℝ)
224 4re 11048 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
225224a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
226 6re 11052 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℝ
227226a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 6 ∈ ℝ)
228 4lt6 11156 . . . . . . . . . 10 4 < 6
229228a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 < 6)
230 cht3 24812 . . . . . . . . . . . 12 (θ‘3) = (log‘6)
231230fveq2i 6156 . . . . . . . . . . 11 (exp‘(θ‘3)) = (exp‘(log‘6))
232 6pos 11070 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 6
233226, 232elrpii 11786 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℝ+
234 reeflog 24244 . . . . . . . . . . . 12 (6 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘6)) = 6)
235233, 234ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (exp‘(log‘6)) = 6
236231, 235eqtri 2643 . . . . . . . . . 10 (exp‘(θ‘3)) = 6
237 3re 11045 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℝ
238237a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
239 eluzle 11651 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑀)
24067, 239syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 3 ≤ 𝑀)
241 chtwordi 24795 . . . . . . . . . . . 12 ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑀) → (θ‘3) ≤ (θ‘𝑀))
242238, 103, 240, 241syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (θ‘3) ≤ (θ‘𝑀))
243 chtcl 24748 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℝ → (θ‘3) ∈ ℝ)
244237, 243ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (θ‘3) ∈ ℝ
245 chtcl 24748 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ → (θ‘𝑀) ∈ ℝ)
246103, 245syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (θ‘𝑀) ∈ ℝ)
247 efle 14780 . . . . . . . . . . . 12 (((θ‘3) ∈ ℝ ∧ (θ‘𝑀) ∈ ℝ) → ((θ‘3) ≤ (θ‘𝑀) ↔ (exp‘(θ‘3)) ≤ (exp‘(θ‘𝑀))))
248244, 246, 247sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((θ‘3) ≤ (θ‘𝑀) ↔ (exp‘(θ‘3)) ≤ (exp‘(θ‘𝑀))))
249242, 248mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(θ‘3)) ≤ (exp‘(θ‘𝑀)))
250236, 249syl5eqbrr 4654 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 6 ≤ (exp‘(θ‘𝑀)))
251225, 227, 213, 229, 250ltletrd 10148 . . . . . . . 8 (𝜑 → 4 < (exp‘(θ‘𝑀)))
252 4pos 11067 . . . . . . . . . 10 0 < 4
253252a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 4)
254 ltdiv2 10860 . . . . . . . . 9 (((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) ∧ ((exp‘(θ‘𝑀)) ∈ ℝ ∧ 0 < (exp‘(θ‘𝑀))) ∧ ((exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ 0 < (exp‘(θ‘𝐾)))) → (4 < (exp‘(θ‘𝑀)) ↔ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) < ((exp‘(θ‘𝐾)) / 4)))
255225, 253, 213, 215, 212, 214, 254syl222anc 1339 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4 < (exp‘(θ‘𝑀)) ↔ ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) < ((exp‘(θ‘𝐾)) / 4)))
256251, 255mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) < ((exp‘(θ‘𝐾)) / 4))
25726a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
258 2lt3 11146 . . . . . . . . . . . . . 14 2 < 3
259258a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 < 3)
260238, 103, 104, 240, 106letrd 10145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 3 ≤ 𝐾)
261257, 238, 104, 259, 260ltletrd 10148 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 < 𝐾)
262 chtub 24850 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐾) → (θ‘𝐾) < ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)))
263104, 261, 262syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (θ‘𝐾) < ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)))
264 chtcl 24748 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℝ → (θ‘𝐾) ∈ ℝ)
265104, 264syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (θ‘𝐾) ∈ ℝ)
266 relogcl 24239 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
26731, 266ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘2) ∈ ℝ
26823nnzi 11352 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℤ
269 zsubcl 11370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℤ)
27078, 268, 269sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℤ)
271270zred 11433 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℝ)
272 remulcl 9972 . . . . . . . . . . . . 13 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)) ∈ ℝ)
273267, 271, 272sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)) ∈ ℝ)
274 eflt 14779 . . . . . . . . . . . 12 (((θ‘𝐾) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)) ∈ ℝ) → ((θ‘𝐾) < ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)) ↔ (exp‘(θ‘𝐾)) < (exp‘((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)))))
275265, 273, 274syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((θ‘𝐾) < ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)) ↔ (exp‘(θ‘𝐾)) < (exp‘((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)))))
276263, 275mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) < (exp‘((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3))))
277 reexplog 24258 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ+ ∧ ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℤ) → (2↑((2 · 𝐾) − 3)) = (exp‘(((2 · 𝐾) − 3) · (log‘2))))
27831, 270, 277sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2↑((2 · 𝐾) − 3)) = (exp‘(((2 · 𝐾) − 3) · (log‘2))))
279270zcnd 11434 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℂ)
280267recni 10003 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘2) ∈ ℂ
281 mulcom 9973 . . . . . . . . . . . . 13 ((((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ) → (((2 · 𝐾) − 3) · (log‘2)) = ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)))
282279, 280, 281sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · 𝐾) − 3) · (log‘2)) = ((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3)))
283282fveq2d 6157 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (exp‘(((2 · 𝐾) − 3) · (log‘2))) = (exp‘((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3))))
284278, 283eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑((2 · 𝐾) − 3)) = (exp‘((log‘2) · ((2 · 𝐾) − 3))))
285276, 284breqtrrd 4646 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) < (2↑((2 · 𝐾) − 3)))
286 3p2e5 11111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 + 2) = 5
287286oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 + 2) − 2) = (5 − 2)
288 3cn 11046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℂ
289 2cn 11042 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
290288, 289pncan3oi 10248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 + 2) − 2) = 3
291287, 290eqtr3i 2645 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 − 2) = 3
292291oveq2i 6621 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝐾) − (5 − 2)) = ((2 · 𝐾) − 3)
29378zcnd 11434 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
294 5cn 11051 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ∈ ℂ
295 subsub 10262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 5 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐾) − (5 − 2)) = (((2 · 𝐾) − 5) + 2))
296294, 289, 295mp3an23 1413 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · 𝐾) − (5 − 2)) = (((2 · 𝐾) − 5) + 2))
297293, 296syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 𝐾) − (5 − 2)) = (((2 · 𝐾) − 5) + 2))
298292, 297syl5eqr 2669 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 3) = (((2 · 𝐾) − 5) + 2))
299298oveq2d 6626 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 3)) = (2↑𝑐(((2 · 𝐾) − 5) + 2)))
300 2ne0 11064 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
301 cxpexpz 24326 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ ((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℤ) → (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 3)) = (2↑((2 · 𝐾) − 3)))
302289, 300, 301mp3an12 1411 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝐾) − 3) ∈ ℤ → (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 3)) = (2↑((2 · 𝐾) − 3)))
303270, 302syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 3)) = (2↑((2 · 𝐾) − 3)))
30481zcnd 11434 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℂ)
305 2cnne0 11193 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
306 cxpadd 24338 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (2↑𝑐(((2 · 𝐾) − 5) + 2)) = ((2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · (2↑𝑐2)))
307305, 289, 306mp3an13 1412 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝐾) − 5) ∈ ℂ → (2↑𝑐(((2 · 𝐾) − 5) + 2)) = ((2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · (2↑𝑐2)))
308304, 307syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2↑𝑐(((2 · 𝐾) − 5) + 2)) = ((2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · (2↑𝑐2)))
309299, 303, 3083eqtr3d 2663 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑((2 · 𝐾) − 3)) = ((2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · (2↑𝑐2)))
310 2nn0 11260 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
311 cxpexp 24327 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐2) = (2↑2))
312289, 310, 311mp2an 707 . . . . . . . . . . . 12 (2↑𝑐2) = (2↑2)
313 sq2 12907 . . . . . . . . . . . 12 (2↑2) = 4
314312, 313eqtri 2643 . . . . . . . . . . 11 (2↑𝑐2) = 4
315314oveq2i 6621 . . . . . . . . . 10 ((2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · (2↑𝑐2)) = ((2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · 4)
316309, 315syl6eq 2671 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑((2 · 𝐾) − 3)) = ((2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · 4))
317285, 316breqtrd 4644 . . . . . . . 8 (𝜑 → (exp‘(θ‘𝐾)) < ((2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · 4))
318224, 252pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
319318a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4))
320 ltdivmul2 10851 . . . . . . . . 9 (((exp‘(θ‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → (((exp‘(θ‘𝐾)) / 4) < (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ↔ (exp‘(θ‘𝐾)) < ((2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · 4)))
321212, 85, 319, 320syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((exp‘(θ‘𝐾)) / 4) < (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ↔ (exp‘(θ‘𝐾)) < ((2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)) · 4)))
322317, 321mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / 4) < (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)))
323119, 223, 85, 256, 322lttrd 10149 . . . . . 6 (𝜑 → ((exp‘(θ‘𝐾)) / (exp‘(θ‘𝑀))) < (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)))
324102, 119, 85, 221, 323lelttrd 10146 . . . . 5 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) < (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)))
32597nnred 10986 . . . . . 6 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℝ)
326 nnre 10978 . . . . . . . 8 ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ)
327 nngt0 11000 . . . . . . . 8 ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ → 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))
328326, 327jca 554 . . . . . . 7 ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)))
32970, 328syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)))
330 ltdivmul 10849 . . . . . 6 (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ∈ ℝ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))) → (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) < (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) < ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)))))
331325, 85, 329, 330syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) < (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) < ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)))))
332324, 331mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) < ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5))))
33387, 332eqbrtrrd 4642 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) < ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5))))
33430, 85remulcld 10021 . . . 4 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ∈ ℝ)
3353, 62, 55, 63, 64bposlem5 24926 . . . . 5 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))
33671, 30, 84lemul1d 11866 . . . . 5 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ≤ (((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)))))
337335, 336mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ≤ (((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5))))
33878zred 11433 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝐾) ∈ ℝ)
33937a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 5 ∈ ℝ)
340 flle 12547 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
34174, 340syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
34263, 341syl5eqbr 4653 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
343 2pos 11063 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
34426, 343pm3.2i 471 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
345344a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
346 lemul2 10827 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐾 ≤ ((2 · 𝑁) / 3) ↔ (2 · 𝐾) ≤ (2 · ((2 · 𝑁) / 3))))
347104, 74, 345, 346syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 ≤ ((2 · 𝑁) / 3) ↔ (2 · 𝐾) ≤ (2 · ((2 · 𝑁) / 3))))
348342, 347mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐾) ≤ (2 · ((2 · 𝑁) / 3)))
34918nncnd 10987 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
350 3ne0 11066 . . . . . . . . . . . 12 3 ≠ 0
351288, 350pm3.2i 471 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
352 divass 10654 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((2 · (2 · 𝑁)) / 3) = (2 · ((2 · 𝑁) / 3)))
353289, 351, 352mp3an13 1412 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝑁)) / 3) = (2 · ((2 · 𝑁) / 3)))
354349, 353syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · (2 · 𝑁)) / 3) = (2 · ((2 · 𝑁) / 3)))
355 2t2e4 11128 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 2) = 4
356355oveq1i 6620 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 2) · 𝑁) = (4 · 𝑁)
3575nncnd 10987 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
358 mulass 9975 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((2 · 2) · 𝑁) = (2 · (2 · 𝑁)))
359289, 289, 358mp3an12 1411 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 2) · 𝑁) = (2 · (2 · 𝑁)))
360357, 359syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 2) · 𝑁) = (2 · (2 · 𝑁)))
361356, 360syl5reqr 2670 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (2 · 𝑁)) = (4 · 𝑁))
362361oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · (2 · 𝑁)) / 3) = ((4 · 𝑁) / 3))
363354, 362eqtr3d 2657 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · ((2 · 𝑁) / 3)) = ((4 · 𝑁) / 3))
364348, 363breqtrd 4644 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝐾) ≤ ((4 · 𝑁) / 3))
365338, 36, 339, 364lesub1dd 10594 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 5) ≤ (((4 · 𝑁) / 3) − 5))
366 1lt2 11145 . . . . . . . 8 1 < 2
367366a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < 2)
368257, 367, 82, 39cxpled 24379 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝐾) − 5) ≤ (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ↔ (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ≤ (2↑𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))
369365, 368mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ≤ (2↑𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)))
37085, 42, 29lemul2d 11867 . . . . 5 (𝜑 → ((2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5)) ≤ (2↑𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)) ↔ (((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ≤ (((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)))))
371369, 370mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ≤ (((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))
37286, 334, 43, 337, 371letrd 10145 . . 3 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) · (2↑𝑐((2 · 𝐾) − 5))) ≤ (((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))
37315, 86, 43, 333, 372ltletrd 10148 . 2 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) < (((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))
37410, 15, 43, 54, 373lttrd 10149 1 (𝜑 → ((4↑𝑁) / 𝑁) < (((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  ifcif 4063   class class class wbr 4618  cmpt 4678  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9885  cr 9886  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892   < clt 10025  cle 10026  cmin 10217   / cdiv 10635  cn 10971  2c2 11021  3c3 11022  4c4 11023  5c5 11024  6c6 11025  0cn0 11243  cz 11328  cuz 11638  +crp 11783  ...cfz 12275  cfl 12538  seqcseq 12748  cexp 12807  Ccbc 13036  csqrt 13914  expce 14724  cdvds 14914  cprime 15316   pCnt cpc 15472  logclog 24218  𝑐ccxp 24219  θccht 24730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-fi 8268  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-xnn0 11315  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-ioo 12128  df-ioc 12129  df-ico 12130  df-icc 12131  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-mod 12616  df-seq 12749  df-exp 12808  df-fac 13008  df-bc 13037  df-hash 13065  df-shft 13748  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-limsup 14143  df-clim 14160  df-rlim 14161  df-sum 14358  df-ef 14730  df-sin 14732  df-cos 14733  df-pi 14735  df-dvds 14915  df-gcd 15148  df-prm 15317  df-pc 15473  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-starv 15884  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-unif 15893  df-hom 15894  df-cco 15895  df-rest 16011  df-topn 16012  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-topgen 16032  df-pt 16033  df-prds 16036  df-xrs 16090  df-qtop 16095  df-imas 16096  df-xps 16098  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-submnd 17264  df-mulg 17469  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669  df-mopn 19670  df-fbas 19671  df-fg 19672  df-cnfld 19675  df-top 20627  df-topon 20644  df-topsp 20657  df-bases 20670  df-cld 20742  df-ntr 20743  df-cls 20744  df-nei 20821  df-lp 20859  df-perf 20860  df-cn 20950  df-cnp 20951  df-haus 21038  df-tx 21284  df-hmeo 21477  df-fil 21569  df-fm 21661  df-flim 21662  df-flf 21663  df-xms 22044  df-ms 22045  df-tms 22046  df-cncf 22600  df-limc 23549  df-dv 23550  df-log 24220  df-cxp 24221  df-cht 24736  df-ppi 24739
This theorem is referenced by:  bposlem9  24930
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