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Theorem bposlem9 24934
Description: Lemma for bpos 24935. Derive a contradiction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
bposlem7.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))))
bposlem7.2 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥))
bposlem9.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
bposlem9.4 (𝜑64 < 𝑁)
bposlem9.5 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
Assertion
Ref Expression
bposlem9 (𝜑𝜓)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑛,𝐺   𝜑,𝑛   𝑁,𝑝   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑝)   𝜓(𝑥,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑥,𝑛,𝑝)   𝐺(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem bposlem9
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bposlem9.4 . . 3 (𝜑64 < 𝑁)
2 bposlem7.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))))
3 bposlem7.2 . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥))
4 6nn0 11265 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
5 4nn 11139 . . . . . 6 4 ∈ ℕ
64, 5decnncl 11470 . . . . 5 64 ∈ ℕ
76a1i 11 . . . 4 (𝜑64 ∈ ℕ)
8 bposlem9.3 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9 ere 14755 . . . . . . . 8 e ∈ ℝ
10 8re 11057 . . . . . . . 8 8 ∈ ℝ
11 egt2lt3 14870 . . . . . . . . . 10 (2 < e ∧ e < 3)
1211simpri 478 . . . . . . . . 9 e < 3
13 3lt8 11171 . . . . . . . . 9 3 < 8
14 3re 11046 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
159, 14, 10lttri 10115 . . . . . . . . 9 ((e < 3 ∧ 3 < 8) → e < 8)
1612, 13, 15mp2an 707 . . . . . . . 8 e < 8
179, 10, 16ltleii 10112 . . . . . . 7 e ≤ 8
18 0re 9992 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
19 epos 14871 . . . . . . . . 9 0 < e
2018, 9, 19ltleii 10112 . . . . . . . 8 0 ≤ e
21 8pos 11073 . . . . . . . . 9 0 < 8
2218, 10, 21ltleii 10112 . . . . . . . 8 0 ≤ 8
23 le2sq 12886 . . . . . . . 8 (((e ∈ ℝ ∧ 0 ≤ e) ∧ (8 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 8)) → (e ≤ 8 ↔ (e↑2) ≤ (8↑2)))
249, 20, 10, 22, 23mp4an 708 . . . . . . 7 (e ≤ 8 ↔ (e↑2) ≤ (8↑2))
2517, 24mpbi 220 . . . . . 6 (e↑2) ≤ (8↑2)
2610recni 10004 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
2726sqvali 12891 . . . . . . 7 (8↑2) = (8 · 8)
28 8t8e64 11614 . . . . . . 7 (8 · 8) = 64
2927, 28eqtri 2643 . . . . . 6 (8↑2) = 64
3025, 29breqtri 4643 . . . . 5 (e↑2) ≤ 64
3130a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (e↑2) ≤ 64)
329resqcli 12897 . . . . . 6 (e↑2) ∈ ℝ
3332a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (e↑2) ∈ ℝ)
346nnrei 10981 . . . . . 6 64 ∈ ℝ
3534a1i 11 . . . . 5 (𝜑64 ∈ ℝ)
368nnred 10987 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
37 ltle 10078 . . . . . . 7 ((64 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (64 < 𝑁64 ≤ 𝑁))
3834, 36, 37sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑 → (64 < 𝑁64 ≤ 𝑁))
391, 38mpd 15 . . . . 5 (𝜑64 ≤ 𝑁)
4033, 35, 36, 31, 39letrd 10146 . . . 4 (𝜑 → (e↑2) ≤ 𝑁)
412, 3, 7, 8, 31, 40bposlem7 24932 . . 3 (𝜑 → (64 < 𝑁 → (𝐹𝑁) < (𝐹64)))
421, 41mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑁) < (𝐹64))
432, 3bposlem8 24933 . . . . 5 ((𝐹64) ∈ ℝ ∧ (𝐹64) < (log‘2))
4443a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹64) ∈ ℝ ∧ (𝐹64) < (log‘2)))
4544simpld 475 . . 3 (𝜑 → (𝐹64) ∈ ℝ)
46 fveq2 6153 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 → (√‘𝑛) = (√‘𝑁))
4746fveq2d 6157 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → (𝐺‘(√‘𝑛)) = (𝐺‘(√‘𝑁)))
4847oveq2d 6626 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) = ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))))
49 oveq1 6617 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 / 2) = (𝑁 / 2))
5049fveq2d 6157 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → (𝐺‘(𝑛 / 2)) = (𝐺‘(𝑁 / 2)))
5150oveq2d 6626 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2))) = ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))
5248, 51oveq12d 6628 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) = (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))))
53 oveq2 6618 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑁))
5453fveq2d 6157 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑁)))
5554oveq2d 6626 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛))) = ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))))
5652, 55oveq12d 6628 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))))
57 ovex 6638 . . . . . 6 ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))) ∈ V
5856, 2, 57fvmpt 6244 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹𝑁) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))))
598, 58syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑁) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))))
60 sqrt2re 14915 . . . . . . 7 (√‘2) ∈ ℝ
618nnrpd 11822 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
6261rpsqrtcld 14092 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ+)
63 fveq2 6153 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (√‘𝑁) → (log‘𝑥) = (log‘(√‘𝑁)))
64 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (√‘𝑁) → 𝑥 = (√‘𝑁))
6563, 64oveq12d 6628 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (√‘𝑁) → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘(√‘𝑁)) / (√‘𝑁)))
66 ovex 6638 . . . . . . . . . 10 ((log‘(√‘𝑁)) / (√‘𝑁)) ∈ V
6765, 3, 66fvmpt 6244 . . . . . . . . 9 ((√‘𝑁) ∈ ℝ+ → (𝐺‘(√‘𝑁)) = ((log‘(√‘𝑁)) / (√‘𝑁)))
6862, 67syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝑁)) = ((log‘(√‘𝑁)) / (√‘𝑁)))
6962relogcld 24290 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘(√‘𝑁)) ∈ ℝ)
7069, 62rerpdivcld 11855 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log‘(√‘𝑁)) / (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
7168, 70eqeltrd 2698 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝑁)) ∈ ℝ)
72 remulcl 9973 . . . . . . 7 (((√‘2) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(√‘𝑁)) ∈ ℝ) → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) ∈ ℝ)
7360, 71, 72sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) ∈ ℝ)
74 9re 11059 . . . . . . . 8 9 ∈ ℝ
75 4re 11049 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
76 4ne0 11069 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
7774, 75, 76redivcli 10744 . . . . . . 7 (9 / 4) ∈ ℝ
7861rphalfcld 11836 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℝ+)
79 fveq2 6153 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑁 / 2) → (log‘𝑥) = (log‘(𝑁 / 2)))
80 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑁 / 2) → 𝑥 = (𝑁 / 2))
8179, 80oveq12d 6628 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑁 / 2) → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)))
82 ovex 6638 . . . . . . . . . 10 ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)) ∈ V
8381, 3, 82fvmpt 6244 . . . . . . . . 9 ((𝑁 / 2) ∈ ℝ+ → (𝐺‘(𝑁 / 2)) = ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)))
8478, 83syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺‘(𝑁 / 2)) = ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)))
8578relogcld 24290 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
8685, 78rerpdivcld 11855 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
8784, 86eqeltrd 2698 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
88 remulcl 9973 . . . . . . 7 (((9 / 4) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ) → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))) ∈ ℝ)
8977, 87, 88sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))) ∈ ℝ)
9073, 89readdcld 10021 . . . . 5 (𝜑 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) ∈ ℝ)
91 2rp 11789 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
92 relogcl 24243 . . . . . . 7 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
9391, 92ax-mp 5 . . . . . 6 (log‘2) ∈ ℝ
94 rpmulcl 11807 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
9591, 61, 94sylancr 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
9695rpsqrtcld 14092 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+)
97 rerpdivcl 11813 . . . . . 6 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+) → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
9893, 96, 97sylancr 694 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
9990, 98readdcld 10021 . . . 4 (𝜑 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))) ∈ ℝ)
10059, 99eqeltrd 2698 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
10193a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ)
10244simprd 479 . . . 4 (𝜑 → (𝐹64) < (log‘2))
103 nnrp 11794 . . . . . . . . . . 11 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
1045, 103ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
105 relogcl 24243 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ ℝ+ → (log‘4) ∈ ℝ)
106104, 105ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (log‘4) ∈ ℝ
107 remulcl 9973 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (log‘4) ∈ ℝ) → (𝑁 · (log‘4)) ∈ ℝ)
10836, 106, 107sylancl 693 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 · (log‘4)) ∈ ℝ)
10961relogcld 24290 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
110108, 109resubcld 10410 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
111 rpre 11791 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑁) ∈ ℝ+ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
112 rpge0 11797 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑁) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (2 · 𝑁))
113111, 112resqrtcld 14098 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑁) ∈ ℝ+ → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
11495, 113syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
115 3nn 11138 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
116 nndivre 11008 . . . . . . . . . . 11 (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
117114, 115, 116sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
118 2re 11042 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
119 readdcl 9971 . . . . . . . . . 10 ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
120117, 118, 119sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
12195relogcld 24290 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
122120, 121remulcld 10022 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
123 remulcl 9973 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (4 · 𝑁) ∈ ℝ)
12475, 36, 123sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (4 · 𝑁) ∈ ℝ)
125 nndivre 11008 . . . . . . . . . . 11 (((4 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
126124, 115, 125sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
127 5re 11051 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
128 resubcl 10297 . . . . . . . . . 10 ((((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ) → (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℝ)
129126, 127, 128sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℝ)
130 remulcl 9973 . . . . . . . . 9 (((((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ) → ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) ∈ ℝ)
131129, 93, 130sylancl 693 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) ∈ ℝ)
132122, 131readdcld 10021 . . . . . . 7 (𝜑 → (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))) ∈ ℝ)
133 remulcl 9973 . . . . . . . . 9 ((((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ) → (((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) ∈ ℝ)
134126, 93, 133sylancl 693 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) ∈ ℝ)
135134, 109resubcld 10410 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
1368nnzd 11433 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
137 df-5 11034 . . . . . . . . . . . 12 5 = (4 + 1)
13875a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
139 6nn 11141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 ∈ ℕ
140 4nn0 11263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℕ0
141 4lt10 11630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 < 10
142139, 140, 140, 141declti 11498 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 < 64
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 4 < 64)
144138, 35, 36, 143, 1lttrd 10150 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 4 < 𝑁)
145 4z 11363 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℤ
146 zltp1le 11379 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (4 < 𝑁 ↔ (4 + 1) ≤ 𝑁))
147145, 136, 146sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (4 < 𝑁 ↔ (4 + 1) ≤ 𝑁))
148144, 147mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (4 + 1) ≤ 𝑁)
149137, 148syl5eqbr 4653 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 5 ≤ 𝑁)
150 5nn 11140 . . . . . . . . . . . . 13 5 ∈ ℕ
151150nnzi 11353 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℤ
152151eluz1i 11647 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁))
153136, 149, 152sylanbrc 697 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘5))
154 bposlem9.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
155 breq2 4622 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑞 → (𝑁 < 𝑝𝑁 < 𝑞))
156 breq1 4621 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑞 ≤ (2 · 𝑁)))
157155, 156anbi12d 746 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) ↔ (𝑁 < 𝑞𝑞 ≤ (2 · 𝑁))))
158157cbvrexv 3163 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑞𝑞 ≤ (2 · 𝑁)))
159154, 158sylnib 318 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑞𝑞 ≤ (2 · 𝑁)))
160 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
161 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
162 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
163153, 159, 160, 161, 162bposlem6 24931 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((4↑𝑁) / 𝑁) < (((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))
164 reexplog 24262 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → (4↑𝑁) = (exp‘(𝑁 · (log‘4))))
165104, 136, 164sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (4↑𝑁) = (exp‘(𝑁 · (log‘4))))
16661reeflogd 24291 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (exp‘(log‘𝑁)) = 𝑁)
167166eqcomd 2627 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 = (exp‘(log‘𝑁)))
168165, 167oveq12d 6628 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((4↑𝑁) / 𝑁) = ((exp‘(𝑁 · (log‘4))) / (exp‘(log‘𝑁))))
169108recnd 10020 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 · (log‘4)) ∈ ℂ)
170109recnd 10020 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
171 efsub 14766 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 · (log‘4)) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℂ) → (exp‘((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁))) = ((exp‘(𝑁 · (log‘4))) / (exp‘(log‘𝑁))))
172169, 170, 171syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁))) = ((exp‘(𝑁 · (log‘4))) / (exp‘(log‘𝑁))))
173168, 172eqtr4d 2658 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((4↑𝑁) / 𝑁) = (exp‘((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁))))
17495rpcnd 11826 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
17595rpne0d 11829 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
176120recnd 10020 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℂ)
177174, 175, 176cxpefd 24375 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) = (exp‘((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁)))))
178 2cn 11043 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
179 2ne0 11065 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
180129recnd 10020 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℂ)
181 cxpef 24328 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℂ) → (2↑𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)) = (exp‘((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))))
182178, 179, 180, 181mp3an12i 1425 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2↑𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)) = (exp‘((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))))
183177, 182oveq12d 6628 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))) = ((exp‘((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁)))) · (exp‘((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)))))
184122recnd 10020 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
185131recnd 10020 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) ∈ ℂ)
186 efadd 14760 . . . . . . . . . . 11 ((((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) ∈ ℂ ∧ ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) ∈ ℂ) → (exp‘(((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)))) = ((exp‘((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁)))) · (exp‘((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)))))
187184, 185, 186syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)))) = ((exp‘((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁)))) · (exp‘((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)))))
188183, 187eqtr4d 2658 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))) = (exp‘(((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)))))
189163, 173, 1883brtr3d 4649 . . . . . . . 8 (𝜑 → (exp‘((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁))) < (exp‘(((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)))))
190 eflt 14783 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))) ∈ ℝ) → (((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁)) < (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))) ↔ (exp‘((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁))) < (exp‘(((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))))))
191110, 132, 190syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁)) < (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))) ↔ (exp‘((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁))) < (exp‘(((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))))))
192189, 191mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁)) < (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))))
193110, 132, 135, 192ltsub1dd 10591 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁)) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))) < ((((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))))
19436recnd 10020 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
195 mulcom 9974 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (2 · 𝑁) = (𝑁 · 2))
196178, 194, 195sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 · 2))
197196oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (log‘2)) = ((𝑁 · 2) · (log‘2)))
19893recni 10004 . . . . . . . . . . . 12 (log‘2) ∈ ℂ
199 mulass 9976 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ) → ((𝑁 · 2) · (log‘2)) = (𝑁 · (2 · (log‘2))))
200178, 198, 199mp3an23 1413 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 · 2) · (log‘2)) = (𝑁 · (2 · (log‘2))))
201194, 200syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 · 2) · (log‘2)) = (𝑁 · (2 · (log‘2))))
2021982timesi 11099 . . . . . . . . . . . 12 (2 · (log‘2)) = ((log‘2) + (log‘2))
203 relogmul 24259 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (log‘(2 · 2)) = ((log‘2) + (log‘2)))
20491, 91, 203mp2an 707 . . . . . . . . . . . 12 (log‘(2 · 2)) = ((log‘2) + (log‘2))
205 2t2e4 11129 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 2) = 4
206205fveq2i 6156 . . . . . . . . . . . 12 (log‘(2 · 2)) = (log‘4)
207202, 204, 2063eqtr2i 2649 . . . . . . . . . . 11 (2 · (log‘2)) = (log‘4)
208207oveq2i 6621 . . . . . . . . . 10 (𝑁 · (2 · (log‘2))) = (𝑁 · (log‘4))
209201, 208syl6eq 2671 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 · 2) · (log‘2)) = (𝑁 · (log‘4)))
210197, 209eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (log‘2)) = (𝑁 · (log‘4)))
211210oveq1d 6625 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (log‘2)) − (((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2))) = ((𝑁 · (log‘4)) − (((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2))))
212 4p2e6 11114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 + 2) = 6
213212oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 + 2) · 𝑁) = (6 · 𝑁)
214 4cn 11050 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 ∈ ℂ
215 adddir 9983 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((4 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((4 + 2) · 𝑁) = ((4 · 𝑁) + (2 · 𝑁)))
216214, 178, 194, 215mp3an12i 1425 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((4 + 2) · 𝑁) = ((4 · 𝑁) + (2 · 𝑁)))
217213, 216syl5eqr 2669 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (6 · 𝑁) = ((4 · 𝑁) + (2 · 𝑁)))
218217oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((6 · 𝑁) / 3) = (((4 · 𝑁) + (2 · 𝑁)) / 3))
219 6cn 11054 . . . . . . . . . . . . . . 15 6 ∈ ℂ
220 3cn 11047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℂ
221 3ne0 11067 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ≠ 0
222220, 221pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
223 div23 10656 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((6 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((6 · 𝑁) / 3) = ((6 / 3) · 𝑁))
224219, 222, 223mp3an13 1412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℂ → ((6 · 𝑁) / 3) = ((6 / 3) · 𝑁))
225194, 224syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((6 · 𝑁) / 3) = ((6 / 3) · 𝑁))
226 3t2e6 11131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 · 2) = 6
227226oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 · 2) / 3) = (6 / 3)
228178, 220, 221divcan3i 10723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 · 2) / 3) = 2
229227, 228eqtr3i 2645 . . . . . . . . . . . . . 14 (6 / 3) = 2
230229oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . 13 ((6 / 3) · 𝑁) = (2 · 𝑁)
231225, 230syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((6 · 𝑁) / 3) = (2 · 𝑁))
232124recnd 10020 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (4 · 𝑁) ∈ ℂ)
233 remulcl 9973 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
234118, 36, 233sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
235234recnd 10020 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
236 divdir 10662 . . . . . . . . . . . . . 14 (((4 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → (((4 · 𝑁) + (2 · 𝑁)) / 3) = (((4 · 𝑁) / 3) + ((2 · 𝑁) / 3)))
237222, 236mp3an3 1410 . . . . . . . . . . . . 13 (((4 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℂ) → (((4 · 𝑁) + (2 · 𝑁)) / 3) = (((4 · 𝑁) / 3) + ((2 · 𝑁) / 3)))
238232, 235, 237syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((4 · 𝑁) + (2 · 𝑁)) / 3) = (((4 · 𝑁) / 3) + ((2 · 𝑁) / 3)))
239218, 231, 2383eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) = (((4 · 𝑁) / 3) + ((2 · 𝑁) / 3)))
240239oveq1d 6625 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑁) − ((4 · 𝑁) / 3)) = ((((4 · 𝑁) / 3) + ((2 · 𝑁) / 3)) − ((4 · 𝑁) / 3)))
241126recnd 10020 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℂ)
242 3rp 11790 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℝ+
243 rpdivcl 11808 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ+)
24495, 242, 243sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ+)
245244rpcnd 11826 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℂ)
246241, 245pncan2d 10346 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((4 · 𝑁) / 3) + ((2 · 𝑁) / 3)) − ((4 · 𝑁) / 3)) = ((2 · 𝑁) / 3))
247240, 246eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁) − ((4 · 𝑁) / 3)) = ((2 · 𝑁) / 3))
248247oveq1d 6625 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑁) − ((4 · 𝑁) / 3)) · (log‘2)) = (((2 · 𝑁) / 3) · (log‘2)))
249101recnd 10020 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘2) ∈ ℂ)
250235, 241, 249subdird 10439 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑁) − ((4 · 𝑁) / 3)) · (log‘2)) = (((2 · 𝑁) · (log‘2)) − (((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2))))
251248, 250eqtr3d 2657 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) = (((2 · 𝑁) · (log‘2)) − (((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2))))
252134recnd 10020 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) ∈ ℂ)
253169, 252, 170nnncan2d 10379 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁)) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))) = ((𝑁 · (log‘4)) − (((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2))))
254211, 251, 2533eqtr4d 2665 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) = (((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁)) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))))
255117recnd 10020 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℂ)
256178a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
257121recnd 10020 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
258255, 256, 257adddird 10017 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + (2 · (log‘(2 · 𝑁)))))
259 relogmul 24259 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (log‘(2 · 𝑁)) = ((log‘2) + (log‘𝑁)))
26091, 61, 259sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (log‘(2 · 𝑁)) = ((log‘2) + (log‘𝑁)))
261260oveq2d 6626 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · (log‘(2 · 𝑁))) = (2 · ((log‘2) + (log‘𝑁))))
262256, 249, 170adddid 10016 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · ((log‘2) + (log‘𝑁))) = ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁))))
263261, 262eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (log‘(2 · 𝑁))) = ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁))))
264263oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + (2 · (log‘(2 · 𝑁)))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁)))))
265258, 264eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁)))))
266 5cn 11052 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℂ
267266a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 5 ∈ ℂ)
268241, 267, 249subdird 10439 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) = ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (5 · (log‘2))))
269268oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))) = (((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (5 · (log‘2))) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))))
270266, 198mulcli 9997 . . . . . . . . . . 11 (5 · (log‘2)) ∈ ℂ
271270a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (5 · (log‘2)) ∈ ℂ)
272252, 271, 170nnncan1d 10378 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (5 · (log‘2))) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))) = ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2))))
273269, 272eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))) = ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2))))
274265, 273oveq12d 6628 . . . . . . 7 (𝜑 → (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + (((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁)))) = (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁)))) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2)))))
275135recnd 10020 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
276184, 185, 275addsubassd 10364 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))) = (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + (((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁)))))
277266, 220, 198subdiri 10432 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 − 3) · (log‘2)) = ((5 · (log‘2)) − (3 · (log‘2)))
278 3p2e5 11112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 + 2) = 5
279278oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 + 2) − 3) = (5 − 3)
280 pncan2 10240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((3 + 2) − 3) = 2)
281220, 178, 280mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 + 2) − 3) = 2
282279, 281eqtr3i 2645 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 − 3) = 2
283282oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 − 3) · (log‘2)) = (2 · (log‘2))
284277, 283eqtr3i 2645 . . . . . . . . . . . 12 ((5 · (log‘2)) − (3 · (log‘2))) = (2 · (log‘2))
285284a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((5 · (log‘2)) − (3 · (log‘2))) = (2 · (log‘2)))
286 df-3 11032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (2 + 1)
287286oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · (log‘𝑁)) = ((2 + 1) · (log‘𝑁))
288 1cnd 10008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
289256, 288, 170adddird 10017 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 + 1) · (log‘𝑁)) = ((2 · (log‘𝑁)) + (1 · (log‘𝑁))))
290287, 289syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (3 · (log‘𝑁)) = ((2 · (log‘𝑁)) + (1 · (log‘𝑁))))
291170mulid2d 10010 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 · (log‘𝑁)) = (log‘𝑁))
292291oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (log‘𝑁)) + (1 · (log‘𝑁))) = ((2 · (log‘𝑁)) + (log‘𝑁)))
293290, 292eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (3 · (log‘𝑁)) = ((2 · (log‘𝑁)) + (log‘𝑁)))
294293oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((3 · (log‘𝑁)) − (5 · (log‘2))) = (((2 · (log‘𝑁)) + (log‘𝑁)) − (5 · (log‘2))))
295 mulcl 9972 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℂ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℂ) → (2 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
296178, 170, 295sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
297296, 170, 271addsubassd 10364 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · (log‘𝑁)) + (log‘𝑁)) − (5 · (log‘2))) = ((2 · (log‘𝑁)) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2)))))
298294, 297eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((3 · (log‘𝑁)) − (5 · (log‘2))) = ((2 · (log‘𝑁)) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2)))))
299285, 298oveq12d 6628 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((5 · (log‘2)) − (3 · (log‘2))) + ((3 · (log‘𝑁)) − (5 · (log‘2)))) = ((2 · (log‘2)) + ((2 · (log‘𝑁)) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2))))))
300 relogdiv 24260 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (log‘(𝑁 / 2)) = ((log‘𝑁) − (log‘2)))
30161, 91, 300sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (log‘(𝑁 / 2)) = ((log‘𝑁) − (log‘2)))
302301oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (3 · (log‘(𝑁 / 2))) = (3 · ((log‘𝑁) − (log‘2))))
303 subdi 10415 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℂ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ) → (3 · ((log‘𝑁) − (log‘2))) = ((3 · (log‘𝑁)) − (3 · (log‘2))))
304220, 198, 303mp3an13 1412 . . . . . . . . . . . . 13 ((log‘𝑁) ∈ ℂ → (3 · ((log‘𝑁) − (log‘2))) = ((3 · (log‘𝑁)) − (3 · (log‘2))))
305170, 304syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (3 · ((log‘𝑁) − (log‘2))) = ((3 · (log‘𝑁)) − (3 · (log‘2))))
306302, 305eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (3 · (log‘(𝑁 / 2))) = ((3 · (log‘𝑁)) − (3 · (log‘2))))
307 div23 10656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((2 · 𝑁) / 3) = ((2 / 3) · 𝑁))
308178, 222, 307mp3an13 1412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) / 3) = ((2 / 3) · 𝑁))
309194, 308syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) = ((2 / 3) · 𝑁))
310220, 178, 220, 178, 179, 179divmuldivi 10737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 · 3) / (2 · 2))
311 3t3e9 11132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 · 3) = 9
312311, 205oveq12i 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 · 3) / (2 · 2)) = (9 / 4)
313310, 312eqtr2i 2644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (9 / 4) = ((3 / 2) · (3 / 2))
314313a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (9 / 4) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
315309, 314oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (9 / 4)) = (((2 / 3) · 𝑁) · ((3 / 2) · (3 / 2))))
316178, 220, 221divcli 10719 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 / 3) ∈ ℂ
317220, 178, 179divcli 10719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 / 2) ∈ ℂ
318 mul4 10157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((2 / 3) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (3 / 2) ∈ ℂ)) → (((2 / 3) · 𝑁) · ((3 / 2) · (3 / 2))) = (((2 / 3) · (3 / 2)) · (𝑁 · (3 / 2))))
319317, 317, 318mpanr12 720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 / 3) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((2 / 3) · 𝑁) · ((3 / 2) · (3 / 2))) = (((2 / 3) · (3 / 2)) · (𝑁 · (3 / 2))))
320316, 194, 319sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 / 3) · 𝑁) · ((3 / 2) · (3 / 2))) = (((2 / 3) · (3 / 2)) · (𝑁 · (3 / 2))))
321 divcan6 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((2 / 3) · (3 / 2)) = 1)
322178, 179, 220, 221, 321mp4an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 / 3) · (3 / 2)) = 1
323322oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 / 3) · (3 / 2)) · (𝑁 · (3 / 2))) = (1 · (𝑁 · (3 / 2)))
324 mulcl 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (3 / 2) ∈ ℂ) → (𝑁 · (3 / 2)) ∈ ℂ)
325194, 317, 324sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑁 · (3 / 2)) ∈ ℂ)
326325mulid2d 10010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 · (𝑁 · (3 / 2))) = (𝑁 · (3 / 2)))
327323, 326syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 / 3) · (3 / 2)) · (𝑁 · (3 / 2))) = (𝑁 · (3 / 2)))
328 2cnne0 11194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
329 div12 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (𝑁 · (3 / 2)) = (3 · (𝑁 / 2)))
330220, 328, 329mp3an23 1413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · (3 / 2)) = (3 · (𝑁 / 2)))
331194, 330syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 · (3 / 2)) = (3 · (𝑁 / 2)))
332327, 331eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 / 3) · (3 / 2)) · (𝑁 · (3 / 2))) = (3 · (𝑁 / 2)))
333315, 320, 3323eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (9 / 4)) = (3 · (𝑁 / 2)))
334333, 84oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) / 3) · (9 / 4)) · (𝐺‘(𝑁 / 2))) = ((3 · (𝑁 / 2)) · ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2))))
33577recni 10004 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 / 4) ∈ ℂ
336335a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (9 / 4) ∈ ℂ)
33787recnd 10020 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺‘(𝑁 / 2)) ∈ ℂ)
338245, 336, 337mulassd 10015 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) / 3) · (9 / 4)) · (𝐺‘(𝑁 / 2))) = (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))))
339220a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
34078rpcnd 11826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
34185recnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (log‘(𝑁 / 2)) ∈ ℂ)
34278rpne0d 11829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 / 2) ≠ 0)
343341, 340, 342divcld 10753 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)) ∈ ℂ)
344339, 340, 343mulassd 10015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((3 · (𝑁 / 2)) · ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2))) = (3 · ((𝑁 / 2) · ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)))))
345341, 340, 342divcan2d 10755 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 / 2) · ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2))) = (log‘(𝑁 / 2)))
346345oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (3 · ((𝑁 / 2) · ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)))) = (3 · (log‘(𝑁 / 2))))
347344, 346eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((3 · (𝑁 / 2)) · ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2))) = (3 · (log‘(𝑁 / 2))))
348334, 338, 3473eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) = (3 · (log‘(𝑁 / 2))))
349220, 198mulcli 9997 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · (log‘2)) ∈ ℂ
350349a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (3 · (log‘2)) ∈ ℂ)
351 mulcl 9972 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℂ) → (3 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
352220, 170, 351sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (3 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
353271, 350, 352npncan3d 10380 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((5 · (log‘2)) − (3 · (log‘2))) + ((3 · (log‘𝑁)) − (5 · (log‘2)))) = ((3 · (log‘𝑁)) − (3 · (log‘2))))
354306, 348, 3533eqtr4d 2665 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) = (((5 · (log‘2)) − (3 · (log‘2))) + ((3 · (log‘𝑁)) − (5 · (log‘2)))))
355118, 93remulcli 10006 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · (log‘2)) ∈ ℝ
356355recni 10004 . . . . . . . . . . . 12 (2 · (log‘2)) ∈ ℂ
357356a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · (log‘2)) ∈ ℂ)
358 subcl 10232 . . . . . . . . . . . 12 (((log‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (5 · (log‘2)) ∈ ℂ) → ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2))) ∈ ℂ)
359170, 270, 358sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2))) ∈ ℂ)
360357, 296, 359addassd 10014 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁))) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2)))) = ((2 · (log‘2)) + ((2 · (log‘𝑁)) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2))))))
361299, 354, 3603eqtr4d 2665 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) = (((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁))) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2)))))
362361oveq2d 6626 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + (((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁))) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2))))))
363 mulcl 9972 . . . . . . . . . . 11 ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ) → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) ∈ ℂ)
364255, 198, 363sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) ∈ ℂ)
365255, 170mulcld 10012 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
36689recnd 10020 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))) ∈ ℂ)
367245, 366mulcld 10012 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) ∈ ℂ)
368364, 365, 367addassd 10014 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) + (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) + ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))))))
369260oveq2d 6626 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · ((log‘2) + (log‘𝑁))))
370255, 249, 170adddid 10016 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · ((log‘2) + (log‘𝑁))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) + (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁))))
371369, 370eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) + (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁))))
372371oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) = (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) + (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))))
37359oveq2d 6626 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (𝐹𝑁)) = (((2 · 𝑁) / 3) · ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))))))
37490recnd 10020 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) ∈ ℂ)
37598recnd 10020 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
376245, 374, 375adddid 10016 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))))) = ((((2 · 𝑁) / 3) · (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))))))
377373, 376eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (𝐹𝑁)) = ((((2 · 𝑁) / 3) · (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))))))
37873recnd 10020 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) ∈ ℂ)
379245, 378, 366adddid 10016 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) = ((((2 · 𝑁) / 3) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))))
38095rpge0d 11828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑁))
381 remsqsqrt 13939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)) → ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
382234, 380, 381syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
383382oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) / 3) = ((2 · 𝑁) / 3))
384114recnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
385221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 3 ≠ 0)
386384, 384, 339, 385div23d 10790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) / 3) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (√‘(2 · 𝑁))))
387383, 386eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (√‘(2 · 𝑁))))
388387oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (√‘(2 · 𝑁))) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))))
389255, 384, 378mulassd 10015 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (√‘(2 · 𝑁))) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · ((√‘(2 · 𝑁)) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))))))
390 0le2 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ≤ 2
391118, 390pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)
39261rprege0d 11831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
393 sqrtmul 13942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁)) → (√‘(2 · 𝑁)) = ((√‘2) · (√‘𝑁)))
394391, 392, 393sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) = ((√‘2) · (√‘𝑁)))
395394oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) = (((√‘2) · (√‘𝑁)) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))))
39660recni 10004 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (√‘2) ∈ ℂ
397396a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (√‘2) ∈ ℂ)
39862rpcnd 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℂ)
39971recnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝑁)) ∈ ℂ)
400397, 398, 397, 399mul4d 10200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((√‘2) · (√‘𝑁)) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) = (((√‘2) · (√‘2)) · ((√‘𝑁) · (𝐺‘(√‘𝑁)))))
401 remsqsqrt 13939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2) · (√‘2)) = 2)
402118, 390, 401mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((√‘2) · (√‘2)) = 2
403402a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((√‘2) · (√‘2)) = 2)
40468oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((√‘𝑁) · (𝐺‘(√‘𝑁))) = ((√‘𝑁) · ((log‘(√‘𝑁)) / (√‘𝑁))))
40569recnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (log‘(√‘𝑁)) ∈ ℂ)
40662rpne0d 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (√‘𝑁) ≠ 0)
407405, 398, 406divcan2d 10755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((√‘𝑁) · ((log‘(√‘𝑁)) / (√‘𝑁))) = (log‘(√‘𝑁)))
408404, 407eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((√‘𝑁) · (𝐺‘(√‘𝑁))) = (log‘(√‘𝑁)))
409403, 408oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((√‘2) · (√‘2)) · ((√‘𝑁) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) = (2 · (log‘(√‘𝑁))))
4104052timesd 11227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (log‘(√‘𝑁))) = ((log‘(√‘𝑁)) + (log‘(√‘𝑁))))
41162, 62relogmuld 24292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (log‘((√‘𝑁) · (√‘𝑁))) = ((log‘(√‘𝑁)) + (log‘(√‘𝑁))))
412 remsqsqrt 13939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → ((√‘𝑁) · (√‘𝑁)) = 𝑁)
413392, 412syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((√‘𝑁) · (√‘𝑁)) = 𝑁)
414413fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (log‘((√‘𝑁) · (√‘𝑁))) = (log‘𝑁))
415411, 414eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((log‘(√‘𝑁)) + (log‘(√‘𝑁))) = (log‘𝑁))
416409, 410, 4153eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((√‘2) · (√‘2)) · ((√‘𝑁) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) = (log‘𝑁))
417395, 400, 4163eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) = (log‘𝑁))
418417oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · ((√‘(2 · 𝑁)) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))))) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)))
419388, 389, 4183eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)))
420419oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) / 3) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))))
421379, 420eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))))
422387oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (√‘(2 · 𝑁))) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))))
423255, 384, 375mulassd 10015 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (√‘(2 · 𝑁))) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · ((√‘(2 · 𝑁)) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))))))
42496rpne0d 11829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ≠ 0)
425249, 384, 424divcan2d 10755 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))) = (log‘2))
426425oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · ((√‘(2 · 𝑁)) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))))) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)))
427422, 423, 4263eqtrd 2659 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)))
428421, 427oveq12d 6628 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) / 3) · (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))))) = (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) + (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2))))
429365, 367addcld 10011 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) ∈ ℂ)
430429, 364addcomd 10190 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) + (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) + ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))))))
431377, 428, 4303eqtrd 2659 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (𝐹𝑁)) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) + ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))))))
432368, 372, 4313eqtr4rd 2666 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (𝐹𝑁)) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))))
433255, 257mulcld 10012 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
434 addcl 9970 . . . . . . . . . 10 (((2 · (log‘2)) ∈ ℂ ∧ (2 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ) → ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁))) ∈ ℂ)
435356, 296, 434sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁))) ∈ ℂ)
436433, 435, 359addassd 10014 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁)))) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2)))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + (((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁))) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2))))))
437362, 432, 4363eqtr4d 2665 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (𝐹𝑁)) = (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁)))) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2)))))
438274, 276, 4373eqtr4rd 2666 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (𝐹𝑁)) = ((((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))))
439193, 254, 4383brtr4d 4650 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) < (((2 · 𝑁) / 3) · (𝐹𝑁)))
440101, 100, 244ltmul2d 11866 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘2) < (𝐹𝑁) ↔ (((2 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) < (((2 · 𝑁) / 3) · (𝐹𝑁))))
441439, 440mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → (log‘2) < (𝐹𝑁))
44245, 101, 100, 102, 441lttrd 10150 . . 3 (𝜑 → (𝐹64) < (𝐹𝑁))
44345, 100, 442ltnsymd 10138 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑁) < (𝐹64))
44442, 443pm2.21dd 186 1 (𝜑𝜓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  ifcif 4063   class class class wbr 4618  cmpt 4678  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893   < clt 10026  cle 10027  cmin 10218   / cdiv 10636  cn 10972  2c2 11022  3c3 11023  4c4 11024  5c5 11025  6c6 11026  8c8 11028  9c9 11029  cz 11329  cdc 11445  cuz 11639  +crp 11784  cfl 12539  cexp 12808  Ccbc 13037  csqrt 13915  expce 14728  eceu 14729  cprime 15320   pCnt cpc 15476  logclog 24222  𝑐ccxp 24223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-xnn0 11316  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ioc 12130  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-shft 13749  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-limsup 14144  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-ef 14734  df-e 14735  df-sin 14736  df-cos 14737  df-pi 14739  df-dvds 14919  df-gcd 15152  df-prm 15321  df-pc 15477  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-lp 20863  df-perf 20864  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-haus 21042  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-cncf 22604  df-limc 23553  df-dv 23554  df-log 24224  df-cxp 24225  df-cht 24740  df-ppi 24743
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