Theorem br2coss 34516

Description: Cosets by ≀ 𝑅 binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
br2coss	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ≀ 𝑅𝐵 ↔ ([𝐴] ≀ 𝑅 ∩ [𝐵] ≀ 𝑅) ≠ ∅))

Proof of Theorem br2coss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brcoss3 34511	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ≀ 𝑅𝐵 ↔ ([𝐴]◡ ≀ 𝑅 ∩ [𝐵]◡ ≀ 𝑅) ≠ ∅))
2		cnvcosseq 34515	. . . . 5 ⊢ ◡ ≀ 𝑅 = ≀ 𝑅
3	2	eceq2i 34364	. . . 4 ⊢ [𝐴]◡ ≀ 𝑅 = [𝐴] ≀ 𝑅
4	2	eceq2i 34364	. . . 4 ⊢ [𝐵]◡ ≀ 𝑅 = [𝐵] ≀ 𝑅
5	3, 4	ineq12i 3955	. . 3 ⊢ ([𝐴]◡ ≀ 𝑅 ∩ [𝐵]◡ ≀ 𝑅) = ([𝐴] ≀ 𝑅 ∩ [𝐵] ≀ 𝑅)
6	5	neeq1i 2996	. 2 ⊢ (([𝐴]◡ ≀ 𝑅 ∩ [𝐵]◡ ≀ 𝑅) ≠ ∅ ↔ ([𝐴] ≀ 𝑅 ∩ [𝐵] ≀ 𝑅) ≠ ∅)
7	1, 6	syl6bb 276	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ≀ 𝑅𝐵 ↔ ([𝐴] ≀ 𝑅 ∩ [𝐵] ≀ 𝑅) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932   ∩ cin 3714  ∅c0 4058   class class class wbr 4804  ^◡ccnv 5265  [cec 7909   ≀ ccoss 34296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-br 4805  df-opab 4865  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ec 7913  df-coss 34492

This theorem is referenced by: (None)