Theorem br2coss 35677

Description: Cosets by ≀ 𝑅 binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
br2coss	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ≀ 𝑅𝐵 ↔ ([𝐴] ≀ 𝑅 ∩ [𝐵] ≀ 𝑅) ≠ ∅))

Proof of Theorem br2coss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brcoss3 35672	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ≀ 𝑅𝐵 ↔ ([𝐴]◡ ≀ 𝑅 ∩ [𝐵]◡ ≀ 𝑅) ≠ ∅))
2		cnvcosseq 35676	. . . . 5 ⊢ ◡ ≀ 𝑅 = ≀ 𝑅
3	2	eceq2i 8324	. . . 4 ⊢ [𝐴]◡ ≀ 𝑅 = [𝐴] ≀ 𝑅
4	2	eceq2i 8324	. . . 4 ⊢ [𝐵]◡ ≀ 𝑅 = [𝐵] ≀ 𝑅
5	3, 4	ineq12i 4187	. . 3 ⊢ ([𝐴]◡ ≀ 𝑅 ∩ [𝐵]◡ ≀ 𝑅) = ([𝐴] ≀ 𝑅 ∩ [𝐵] ≀ 𝑅)
6	5	neeq1i 3080	. 2 ⊢ (([𝐴]◡ ≀ 𝑅 ∩ [𝐵]◡ ≀ 𝑅) ≠ ∅ ↔ ([𝐴] ≀ 𝑅 ∩ [𝐵] ≀ 𝑅) ≠ ∅)
7	1, 6	syl6bb 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ≀ 𝑅𝐵 ↔ ([𝐴] ≀ 𝑅 ∩ [𝐵] ≀ 𝑅) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ∩ cin 3935  ∅c0 4291   class class class wbr 5059  ^◡ccnv 5549  [cec 8281   ≀ ccoss 35447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5060  df-opab 5122  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-ec 8285  df-coss 35653

This theorem is referenced by: (None)