Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdom5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brdom5 9563
 Description: An equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 29-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
brdom5 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦

Proof of Theorem brdom5
StepHypRef Expression
1 brdom3.2 . . . 4 𝐵 ∈ V
21brdom3 9562 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
3 alral 3066 . . . . 5 (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦)
43anim1i 593 . . . 4 ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → (∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
54eximi 1911 . . 3 (∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → ∃𝑓(∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
62, 5sylbi 207 . 2 (𝐴𝐵 → ∃𝑓(∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
7 inss2 3977 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ (𝐵 × 𝐴)
8 dmss 5478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ (𝐵 × 𝐴) → dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ dom (𝐵 × 𝐴))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ dom (𝐵 × 𝐴)
10 dmxpss 5723 . . . . . . . . . . . . 13 dom (𝐵 × 𝐴) ⊆ 𝐵
119, 10sstri 3753 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐵
1211sseli 3740 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) → 𝑥𝐵)
13 inss1 3976 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝑓
1413ssbri 4849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦𝑥𝑓𝑦)
1514moimi 2658 . . . . . . . . . . 11 (∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
1612, 15imim12i 62 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵 → ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦) → (𝑥 ∈ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) → ∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦))
1716ralimi2 3087 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
18 relxp 5283 . . . . . . . . . 10 Rel (𝐵 × 𝐴)
19 relin2 5393 . . . . . . . . . 10 (Rel (𝐵 × 𝐴) → Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))
2117, 20jctil 561 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → (Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦))
22 dffun7 6076 . . . . . . . 8 (Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ↔ (Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦))
2321, 22sylibr 224 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
24 funfn 6079 . . . . . . 7 (Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ↔ (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
2523, 24sylib 208 . . . . . 6 (∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
26 rninxp 5731 . . . . . . 7 (ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥)
2726biimpri 218 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥 → ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴)
2825, 27anim12i 591 . . . . 5 ((∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴))
29 df-fo 6055 . . . . 5 ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto𝐴 ↔ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴))
3028, 29sylibr 224 . . . 4 ((∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto𝐴)
31 vex 3343 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
3231inex1 4951 . . . . . 6 (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∈ V
3332dmex 7265 . . . . 5 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∈ V
3433fodom 9556 . . . 4 ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto𝐴𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
35 ssdomg 8169 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐵 → dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵))
361, 11, 35mp2 9 . . . . 5 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵
37 domtr 8176 . . . . 5 ((𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵) → 𝐴𝐵)
3836, 37mpan2 709 . . . 4 (𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) → 𝐴𝐵)
3930, 34, 383syl 18 . . 3 ((∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴𝐵)
4039exlimiv 2007 . 2 (∃𝑓(∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴𝐵)
416, 40impbii 199 1 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383  ∀wal 1630   = wceq 1632  ∃wex 1853   ∈ wcel 2139  ∃*wmo 2608  ∀wral 3050  ∃wrex 3051  Vcvv 3340   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804   × cxp 5264  dom cdm 5266  ran crn 5267  Rel wrel 5271  Fun wfun 6043   Fn wfn 6044  –onto→wfo 6047   ≼ cdom 8121 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-ac2 9497 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-card 8975  df-acn 8978  df-ac 9149 This theorem is referenced by:  brdom6disj  9566
 Copyright terms: Public domain W3C validator