MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brfi1indlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brfi1indlem 12992
Description: Lemma for brfi1ind 12995: The size of a set is the size of this set with one element removed, increased by 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
brfi1indlem ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌))

Proof of Theorem brfi1indlem
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 11088 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝑌 + 1) ∈ ℕ0)
2 eleq1a 2587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (#‘𝑉) ∈ ℕ0))
32adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (#‘𝑉) ∈ ℕ0))
43imp 443 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) ∧ (#‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
5 hashclb 12876 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉𝑊 → (𝑉 ∈ Fin ↔ (#‘𝑉) ∈ ℕ0))
65ad2antlr 758 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) ∧ (#‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (𝑉 ∈ Fin ↔ (#‘𝑉) ∈ ℕ0))
74, 6mpbird 245 . . . . . . . . . 10 ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) ∧ (#‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → 𝑉 ∈ Fin)
87ex 448 . . . . . . . . 9 (((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
98ex 448 . . . . . . . 8 ((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑉𝑊 → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin)))
101, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝑉𝑊 → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin)))
1110impcom 444 . . . . . 6 ((𝑉𝑊𝑌 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
12113adant2 1072 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
1312imp 443 . . . 4 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → 𝑉 ∈ Fin)
14 snssi 4183 . . . . . 6 (𝑁𝑉 → {𝑁} ⊆ 𝑉)
15143ad2ant2 1075 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → {𝑁} ⊆ 𝑉)
1615adantr 479 . . . 4 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → {𝑁} ⊆ 𝑉)
17 hashssdif 12926 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ {𝑁} ⊆ 𝑉) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − (#‘{𝑁})))
1813, 16, 17syl2anc 690 . . 3 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − (#‘{𝑁})))
19 oveq1 6433 . . . 4 ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → ((#‘𝑉) − (#‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − (#‘{𝑁})))
20 hashsng 12885 . . . . . . 7 (𝑁𝑉 → (#‘{𝑁}) = 1)
2120oveq2d 6442 . . . . . 6 (𝑁𝑉 → ((𝑌 + 1) − (#‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − 1))
22213ad2ant2 1075 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − (#‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − 1))
23 nn0cn 11057 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℂ)
24 1cnd 9811 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
2523, 24pncand 10144 . . . . . 6 (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝑌 + 1) − 1) = 𝑌)
26253ad2ant3 1076 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − 1) = 𝑌)
2722, 26eqtrd 2548 . . . 4 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − (#‘{𝑁})) = 𝑌)
2819, 27sylan9eqr 2570 . . 3 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → ((#‘𝑉) − (#‘{𝑁})) = 𝑌)
2918, 28eqtrd 2548 . 2 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌)
3029ex 448 1 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1938  cdif 3441  wss 3444  {csn 4028  cfv 5689  (class class class)co 6426  Fincfn 7717  1c1 9692   + caddc 9694  cmin 10017  0cn0 11047  #chash 12847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-oadd 7327  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-card 8524  df-cda 8749  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-nn 10776  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428  df-fz 12066  df-hash 12848
This theorem is referenced by:  fi1uzind  12993  brfi1indALT  12996  fi1uzindOLD  12999  brfi1indALTOLD  13002  cusgrasize2inds  25743  cusgrsize2inds  40774
  Copyright terms: Public domain W3C validator