MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brfi1indlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brfi1indlem 13316
Description: TODO-AV1: no lemma, but self-reliant theorem! Lemma for brfi1ind 13319: The size of a set is the size of this set with one element removed, increased by 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
brfi1indlem ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌))

Proof of Theorem brfi1indlem
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 11371 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝑌 + 1) ∈ ℕ0)
2 eleq1a 2725 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (#‘𝑉) ∈ ℕ0))
32adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (#‘𝑉) ∈ ℕ0))
43imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) ∧ (#‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
5 hashclb 13187 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉𝑊 → (𝑉 ∈ Fin ↔ (#‘𝑉) ∈ ℕ0))
65ad2antlr 763 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) ∧ (#‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (𝑉 ∈ Fin ↔ (#‘𝑉) ∈ ℕ0))
74, 6mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) ∧ (#‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → 𝑉 ∈ Fin)
87ex 449 . . . . . . . . 9 (((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
98ex 449 . . . . . . . 8 ((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑉𝑊 → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin)))
101, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝑉𝑊 → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin)))
1110impcom 445 . . . . . 6 ((𝑉𝑊𝑌 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
12113adant2 1100 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
1312imp 444 . . . 4 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → 𝑉 ∈ Fin)
14 snssi 4371 . . . . . 6 (𝑁𝑉 → {𝑁} ⊆ 𝑉)
15143ad2ant2 1103 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → {𝑁} ⊆ 𝑉)
1615adantr 480 . . . 4 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → {𝑁} ⊆ 𝑉)
17 hashssdif 13238 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ {𝑁} ⊆ 𝑉) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − (#‘{𝑁})))
1813, 16, 17syl2anc 694 . . 3 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − (#‘{𝑁})))
19 oveq1 6697 . . . 4 ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → ((#‘𝑉) − (#‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − (#‘{𝑁})))
20 hashsng 13197 . . . . . . 7 (𝑁𝑉 → (#‘{𝑁}) = 1)
2120oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑁𝑉 → ((𝑌 + 1) − (#‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − 1))
22213ad2ant2 1103 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − (#‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − 1))
23 nn0cn 11340 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℂ)
24 1cnd 10094 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
2523, 24pncand 10431 . . . . . 6 (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝑌 + 1) − 1) = 𝑌)
26253ad2ant3 1104 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − 1) = 𝑌)
2722, 26eqtrd 2685 . . . 4 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − (#‘{𝑁})) = 𝑌)
2819, 27sylan9eqr 2707 . . 3 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → ((#‘𝑉) − (#‘{𝑁})) = 𝑌)
2918, 28eqtrd 2685 . 2 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌)
3029ex 449 1 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  cdif 3604  wss 3607  {csn 4210  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  1c1 9975   + caddc 9977  cmin 10304  0cn0 11330  #chash 13157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158
This theorem is referenced by:  fi1uzind  13317  brfi1indALT  13320  cusgrsize2inds  26405
  Copyright terms: Public domain W3C validator