Theorem brfvrcld 40042

Description: If two elements are connected by the reflexive closure of a relation, then they are connected via zero or one instances the relation. (Contributed by RP, 21-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
brfvrcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)

Assertion

Ref	Expression
brfvrcld	⊢ (𝜑 → (𝐴(r*‘𝑅)𝐵 ↔ (𝐴(𝑅↑𝑟0)𝐵 ∨ 𝐴(𝑅↑𝑟1)𝐵)))

Proof of Theorem brfvrcld

Dummy variables 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrcl4 40027	. . 3 ⊢ r* = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ {0, 1} (𝑟↑𝑟𝑛))
2		brfvrcld.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
3		0nn0 11915	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		1nn0 11916	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5		prssi 4757	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
6	3, 4, 5	mp2an 690	. . . 4 ⊢ {0, 1} ⊆ ℕ0
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {0, 1} ⊆ ℕ0)
8	1, 2, 7	brmptiunrelexpd 40034	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(r*‘𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ {0, 1}𝐴(𝑅↑𝑟𝑛)𝐵))
9		oveq2 7167	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟0))
10	9	breqd 5080	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝐴(𝑅↑𝑟𝑛)𝐵 ↔ 𝐴(𝑅↑𝑟0)𝐵))
11		oveq2 7167	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟1))
12	11	breqd 5080	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐴(𝑅↑𝑟𝑛)𝐵 ↔ 𝐴(𝑅↑𝑟1)𝐵))
13	10, 12	rexprg 4636	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ {0, 1}𝐴(𝑅↑𝑟𝑛)𝐵 ↔ (𝐴(𝑅↑𝑟0)𝐵 ∨ 𝐴(𝑅↑𝑟1)𝐵)))
14	3, 4, 13	mp2an 690	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ {0, 1}𝐴(𝑅↑𝑟𝑛)𝐵 ↔ (𝐴(𝑅↑𝑟0)𝐵 ∨ 𝐴(𝑅↑𝑟1)𝐵))
15	8, 14	syl6bb 289	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(r*‘𝑅)𝐵 ↔ (𝐴(𝑅↑𝑟0)𝐵 ∨ 𝐴(𝑅↑𝑟1)𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∨ wo 843   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3142  Vcvv 3497   ⊆ wss 3939  {cpr 4572   class class class wbr 5069  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  0cc0 10540  1c1 10541  ℕ₀cn0 11900  ↑_𝑟crelexp 14382  r*crcl 40023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-seq 13373  df-relexp 14383  df-rcl 40024

This theorem is referenced by:  brfvrcld2  40043