MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brinxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brinxp 5142
Description: Intersection of binary relation with Cartesian product. (Contributed by NM, 9-Mar-1997.)
Assertion
Ref Expression
brinxp ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴𝑅𝐵𝐴(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))𝐵))

Proof of Theorem brinxp
StepHypRef Expression
1 brinxp2 5141 . . 3 (𝐴(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐷𝐴𝑅𝐵))
2 df-3an 1038 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐷𝐴𝑅𝐵) ↔ ((𝐴𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝑅𝐵))
31, 2bitri 264 . 2 (𝐴(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))𝐵 ↔ ((𝐴𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝑅𝐵))
43baibr 944 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴𝑅𝐵𝐴(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036  wcel 1987  cin 3554   class class class wbr 4613   × cxp 5072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-br 4614  df-opab 4674  df-xp 5080
This theorem is referenced by:  poinxp  5143  soinxp  5144  frinxp  5145  seinxp  5146  exfo  6333  isores2  6537  ltpiord  9653  ordpinq  9709  pwsleval  16074  tsrss  17144  ordtrest  20916  ordtrest2lem  20917  ordtrestNEW  29749  ordtrest2NEWlem  29750
  Copyright terms: Public domain W3C validator