Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  broucube Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem broucube 32409
Description: Brouwer - or as Kulpa calls it, "Bohl-Brouwer" - fixed point theorem for the unit cube. Theorem on [Kulpa] p. 548. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
poimir.0 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
poimir.i 𝐼 = ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁))
poimir.r 𝑅 = (∏t‘((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}))
broucube.1 (𝜑𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (𝑅t 𝐼)))
Assertion
Ref Expression
broucube (𝜑 → ∃𝑐𝐼 𝑐 = (𝐹𝑐))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑐   𝐹,𝑐   𝐼,𝑐   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐

Proof of Theorem broucube
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poimir.0 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 poimir.i . . 3 𝐼 = ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁))
3 poimir.r . . 3 𝑅 = (∏t‘((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}))
4 elmapfn 7743 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → 𝑥 Fn (1...𝑁))
54, 2eleq2s 2705 . . . . . . 7 (𝑥𝐼𝑥 Fn (1...𝑁))
65adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥 Fn (1...𝑁))
7 broucube.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (𝑅t 𝐼)))
8 ovex 6555 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ∈ V
9 retopon 22309 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
103pttoponconst 21152 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝑁) ∈ V ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)) → 𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑𝑚 (1...𝑁))))
118, 9, 10mp2an 703 . . . . . . . . . . . 12 𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)))
12 reex 9883 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
13 unitssre 12146 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]1) ⊆ ℝ
14 mapss 7763 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℝ ∈ V ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ) → ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)))
1512, 13, 14mp2an 703 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁))
162, 15eqsstri 3597 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁))
17 resttopon 20717 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑𝑚 (1...𝑁))) ∧ 𝐼 ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁))) → (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
1811, 16, 17mp2an 703 . . . . . . . . . . 11 (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼)
1918toponunii 20489 . . . . . . . . . 10 𝐼 = (𝑅t 𝐼)
2019, 19cnf 20802 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (𝑅t 𝐼)) → 𝐹:𝐼𝐼)
217, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐼𝐼)
2221ffvelrnda 6252 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐼)
23 elmapfn 7743 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑥) ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → (𝐹𝑥) Fn (1...𝑁))
2423, 2eleq2s 2705 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑥) Fn (1...𝑁))
2522, 24syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) Fn (1...𝑁))
268a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (1...𝑁) ∈ V)
27 inidm 3783 . . . . . 6 ((1...𝑁) ∩ (1...𝑁)) = (1...𝑁)
28 eqidd 2610 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑛))
29 eqidd 2610 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑥)‘𝑛) = ((𝐹𝑥)‘𝑛))
306, 25, 26, 26, 27, 28, 29offval 6779 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)) = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))))
3130mpteq2dva 4666 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛)))))
3218a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
338a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ V)
34 retop 22307 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3534fconst6 5993 . . . . . 6 ((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}):(1...𝑁)⟶Top
3635a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}):(1...𝑁)⟶Top)
3718a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
38 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3938cnfldtop 22329 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
40 cnrest2r 20843 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld))
42 resmpt 5356 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) → ((𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ↾ 𝐼) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)))
4316, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ↾ 𝐼) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛))
4411toponunii 20489 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) = 𝑅
4544, 3ptpjcn 21166 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1...𝑁) ∈ V ∧ ((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}):(1...𝑁)⟶Top ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
468, 35, 45mp3an12 1405 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
4744cnrest 20841 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)) ∧ 𝐼 ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁))) → ((𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ↾ 𝐼) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
4846, 16, 47sylancl 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ↾ 𝐼) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
4943, 48syl5eqelr 2692 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
50 fvex 6098 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ V
5150fvconst2 6352 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛) = (topGen‘ran (,)))
5238tgioo2 22346 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
5351, 52syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
5453oveq2d 6543 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)) = ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
5549, 54eleqtrd 2689 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
5641, 55sseldi 3565 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5756adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5821feqmptd 6144 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
5958, 7eqeltrrd 2688 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (𝑅t 𝐼)))
6059adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (𝑅t 𝐼)))
61 fveq1 6087 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑛) = (𝑧𝑛))
6261cbvmptv 4672 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑧𝐼 ↦ (𝑧𝑛))
6362, 57syl5eqelr 2692 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧𝐼 ↦ (𝑧𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
64 fveq1 6087 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝐹𝑥) → (𝑧𝑛) = ((𝐹𝑥)‘𝑛))
6537, 60, 37, 63, 64cnmpt11 21218 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
6638subcn 22408 . . . . . . . . 9 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
6766a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
6837, 57, 65, 67cnmpt12f 21221 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
69 elmapi 7742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → 𝑥:(1...𝑁)⟶(0[,]1))
7069, 2eleq2s 2705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐼𝑥:(1...𝑁)⟶(0[,]1))
7170ffvelrnda 6252 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑛) ∈ (0[,]1))
7213, 71sseldi 3565 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑛) ∈ ℝ)
7372adantll 745 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑛) ∈ ℝ)
74 elmapi 7742 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑥) ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → (𝐹𝑥):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
7574, 2eleq2s 2705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑥):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
7622, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
7776ffvelrnda 6252 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑥)‘𝑛) ∈ (0[,]1))
7813, 77sseldi 3565 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑥)‘𝑛) ∈ ℝ)
7973, 78resubcld 10309 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ ℝ)
8079an32s 841 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ ℝ)
81 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛)))
8280, 81fmptd 6277 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))):𝐼⟶ℝ)
83 frn 5952 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))):𝐼⟶ℝ → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ⊆ ℝ)
8438cnfldtopon 22328 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
85 ax-resscn 9849 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
86 cnrest2 20842 . . . . . . . . 9 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
8784, 85, 86mp3an13 1406 . . . . . . . 8 (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ⊆ ℝ → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
8882, 83, 873syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
8968, 88mpbid 220 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
9054adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)) = ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
9189, 90eleqtrrd 2690 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
923, 32, 33, 36, 91ptcn 21182 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛)))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅))
9331, 92eqeltrd 2687 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅))
94 simpr2 1060 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → 𝑧𝐼)
95 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧)
96 fveq2 6088 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
9795, 96oveq12d 6545 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)) = (𝑧𝑓 − (𝐹𝑧)))
98 eqid 2609 . . . . . . . 8 (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))
99 ovex 6555 . . . . . . . 8 (𝑧𝑓 − (𝐹𝑧)) ∈ V
10097, 98, 99fvmpt 6176 . . . . . . 7 (𝑧𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑧) = (𝑧𝑓 − (𝐹𝑧)))
101100fveq1d 6090 . . . . . 6 (𝑧𝐼 → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) = ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛))
10294, 101syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) = ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛))
103 elmapfn 7743 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → 𝑧 Fn (1...𝑁))
104103, 2eleq2s 2705 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐼𝑧 Fn (1...𝑁))
105104adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) → 𝑧 Fn (1...𝑁))
10621ffvelrnda 6252 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐼)
107 elmapfn 7743 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑧) ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → (𝐹𝑧) Fn (1...𝑁))
108107, 2eleq2s 2705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑧) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑧) Fn (1...𝑁))
109106, 108syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐹𝑧) Fn (1...𝑁))
110109adantlr 746 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) → (𝐹𝑧) Fn (1...𝑁))
1118a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) → (1...𝑁) ∈ V)
112 simpllr 794 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧𝑛) = 0)
113 eqidd 2610 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) = ((𝐹𝑧)‘𝑛))
114105, 110, 111, 111, 27, 112, 113ofval 6781 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = (0 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
115 df-neg 10120 . . . . . . . . 9 -((𝐹𝑧)‘𝑛) = (0 − ((𝐹𝑧)‘𝑛))
116114, 115syl6eqr 2661 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = -((𝐹𝑧)‘𝑛))
117116exp41 635 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑧𝑛) = 0 → (𝑧𝐼 → (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = -((𝐹𝑧)‘𝑛)))))
118117com24 92 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑧𝐼 → ((𝑧𝑛) = 0 → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = -((𝐹𝑧)‘𝑛)))))
1191183imp2 1273 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = -((𝐹𝑧)‘𝑛))
120102, 119eqtrd 2643 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) = -((𝐹𝑧)‘𝑛))
121 elmapi 7742 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑧) ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → (𝐹𝑧):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
122121, 2eleq2s 2705 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑧) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑧):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
123106, 122syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐹𝑧):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
124123ffvelrnda 6252 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ (0[,]1))
125 0xr 9942 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
126 1re 9895 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
127126rexri 9948 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ*
128 iccgelb 12057 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛))
129125, 127, 128mp3an12 1405 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ (0[,]1) → 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛))
130124, 129syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛))
13113, 124sseldi 3565 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ ℝ)
132131le0neg2d 10449 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ -((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
133130, 132mpbid 220 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → -((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
134133an32s 841 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → -((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
135134anasss 676 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼)) → -((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
1361353adantr3 1214 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → -((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
137120, 136eqbrtrd 4599 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
138 iccleub 12056 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 1)
139125, 127, 138mp3an12 1405 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ (0[,]1) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 1)
140124, 139syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 1)
141 1red 9911 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
142141, 131subge0d 10466 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (0 ≤ (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)) ↔ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 1))
143140, 142mpbird 245 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
144143an32s 841 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → 0 ≤ (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
145144anasss 676 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼)) → 0 ≤ (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
1461453adantr3 1214 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → 0 ≤ (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
147 simpr2 1060 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → 𝑧𝐼)
148147, 101syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) = ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛))
149104adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) → 𝑧 Fn (1...𝑁))
150109adantlr 746 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) → (𝐹𝑧) Fn (1...𝑁))
1518a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) → (1...𝑁) ∈ V)
152 simpllr 794 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧𝑛) = 1)
153 eqidd 2610 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) = ((𝐹𝑧)‘𝑛))
154149, 150, 151, 151, 27, 152, 153ofval 6781 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
155154exp41 635 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑧𝑛) = 1 → (𝑧𝐼 → (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛))))))
156155com24 92 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑧𝐼 → ((𝑧𝑛) = 1 → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛))))))
1571563imp2 1273 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
158148, 157eqtrd 2643 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) = (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
159146, 158breqtrrd 4605 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → 0 ≤ (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛))
1601, 2, 3, 93, 137, 159poimir 32408 . 2 (𝜑 → ∃𝑐𝐼 ((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = ((1...𝑁) × {0}))
161 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑐𝑥 = 𝑐)
162 fveq2 6088 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑐 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑐))
163161, 162oveq12d 6545 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑐 → (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)) = (𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)))
164 ovex 6555 . . . . . . 7 (𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)) ∈ V
165163, 98, 164fvmpt 6176 . . . . . 6 (𝑐𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = (𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)))
166165adantl 480 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = (𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)))
167166eqeq1d 2611 . . . 4 ((𝜑𝑐𝐼) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ (𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)) = ((1...𝑁) × {0})))
168 elmapfn 7743 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → 𝑐 Fn (1...𝑁))
169168, 2eleq2s 2705 . . . . . . . . . 10 (𝑐𝐼𝑐 Fn (1...𝑁))
170169adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐼) → 𝑐 Fn (1...𝑁))
17121ffvelrnda 6252 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐) ∈ 𝐼)
172 elmapfn 7743 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑐) ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → (𝐹𝑐) Fn (1...𝑁))
173172, 2eleq2s 2705 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑐) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑐) Fn (1...𝑁))
174171, 173syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐) Fn (1...𝑁))
1758a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐼) → (1...𝑁) ∈ V)
176 eqidd 2610 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑛) = (𝑐𝑛))
177 eqidd 2610 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛))
178170, 174, 175, 175, 27, 176, 177ofval 6781 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐))‘𝑛) = ((𝑐𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
179 c0ex 9890 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
180179fvconst2 6352 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (((1...𝑁) × {0})‘𝑛) = 0)
181180adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((1...𝑁) × {0})‘𝑛) = 0)
182178, 181eqeq12d 2624 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐))‘𝑛) = (((1...𝑁) × {0})‘𝑛) ↔ ((𝑐𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)) = 0))
18313, 85sstri 3576 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ ℂ
184 elmapi 7742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → 𝑐:(1...𝑁)⟶(0[,]1))
185184, 2eleq2s 2705 . . . . . . . . . . 11 (𝑐𝐼𝑐:(1...𝑁)⟶(0[,]1))
186185ffvelrnda 6252 . . . . . . . . . 10 ((𝑐𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑛) ∈ (0[,]1))
187183, 186sseldi 3565 . . . . . . . . 9 ((𝑐𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑛) ∈ ℂ)
188187adantll 745 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑛) ∈ ℂ)
189 elmapi 7742 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑐) ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → (𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
190189, 2eleq2s 2705 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑐) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
191171, 190syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
192191ffvelrnda 6252 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ (0[,]1))
193183, 192sseldi 3565 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℂ)
194188, 193subeq0ad 10253 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑐𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)) = 0 ↔ (𝑐𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
195182, 194bitrd 266 . . . . . 6 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐))‘𝑛) = (((1...𝑁) × {0})‘𝑛) ↔ (𝑐𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
196195ralbidva 2967 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → (∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐))‘𝑛) = (((1...𝑁) × {0})‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)(𝑐𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
197170, 174, 175, 175, 27offn 6783 . . . . . 6 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)) Fn (1...𝑁))
198 fnconstg 5991 . . . . . . 7 (0 ∈ V → ((1...𝑁) × {0}) Fn (1...𝑁))
199179, 198ax-mp 5 . . . . . 6 ((1...𝑁) × {0}) Fn (1...𝑁)
200 eqfnfv 6204 . . . . . 6 (((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)) Fn (1...𝑁) ∧ ((1...𝑁) × {0}) Fn (1...𝑁)) → ((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐))‘𝑛) = (((1...𝑁) × {0})‘𝑛)))
201197, 199, 200sylancl 692 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → ((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐))‘𝑛) = (((1...𝑁) × {0})‘𝑛)))
202 eqfnfv 6204 . . . . . 6 ((𝑐 Fn (1...𝑁) ∧ (𝐹𝑐) Fn (1...𝑁)) → (𝑐 = (𝐹𝑐) ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)(𝑐𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
203170, 174, 202syl2anc 690 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝑐 = (𝐹𝑐) ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)(𝑐𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
204196, 201, 2033bitr4d 298 . . . 4 ((𝜑𝑐𝐼) → ((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ 𝑐 = (𝐹𝑐)))
205167, 204bitrd 266 . . 3 ((𝜑𝑐𝐼) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ 𝑐 = (𝐹𝑐)))
206205rexbidva 3030 . 2 (𝜑 → (∃𝑐𝐼 ((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ ∃𝑐𝐼 𝑐 = (𝐹𝑐)))
207160, 206mpbid 220 1 (𝜑 → ∃𝑐𝐼 𝑐 = (𝐹𝑐))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  wrex 2896  Vcvv 3172  wss 3539  {csn 4124   class class class wbr 4577  cmpt 4637   × cxp 5026  ran crn 5029  cres 5030   Fn wfn 5785  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑓 cof 6770  𝑚 cmap 7721  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793  *cxr 9929  cle 9931  cmin 10117  -cneg 10118  cn 10867  (,)cioo 12002  [,]cicc 12005  ...cfz 12152  t crest 15850  TopOpenctopn 15851  topGenctg 15867  tcpt 15868  fldccnfld 19513  Topctop 20459  TopOnctopon 20460   Cn ccn 20780   ×t ctx 21115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-acn 8628  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-sum 14211  df-dvds 14768  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-ps 16969  df-tsr 16970  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-lp 20692  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-t1 20870  df-haus 20871  df-cmp 20942  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-hmph 21311  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-ii 22419
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator