Theorem brres 5437

Description: Binary relation on a restriction. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opelres.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brres	⊢ (𝐴(𝐶 ↾ 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelres.1	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		brresg 5435	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴(𝐶 ↾ 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴(𝐶 ↾ 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   class class class wbr 4685   ↾ cres 5145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-br 4686  df-opab 4746  df-xp 5149  df-res 5155

This theorem is referenced by:  dfres2  5488  dfima2  5503  poirr2  5555  cores  5676  resco  5677  rnco  5679  fnres  6045  fvres  6245  nfunsn  6263  1stconst  7310  2ndconst  7311  fsplit  7327  wfrlem5  7464  dprd2da  18487  metustid  22406  dvres  23720  dvres2  23721  ltgov  25537  axhcompl-zf  27983  hlimadd  28178  hhcmpl  28185  hhcms  28188  hlim0  28220  dfpo2  31771  eqfunresadj  31785  dfdm5  31800  dfrn5  31801  frrlem5  31909  txpss3v  32110  brtxp  32112  pprodss4v  32116  brpprod  32117  brimg  32169  brapply  32170  funpartfun  32175  dfrdg4  32183  xrnss3v  34274  funressnfv  41529  dfdfat2  41532  setrec2lem2  42766