Theorem brresi 5864

Description: Binary relation on a restriction. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opelresi.1	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brresi	⊢ (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝐶))

Proof of Theorem brresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelresi.1	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ V
2		brres 5862	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝐶)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   class class class wbr 5068   ↾ cres 5559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-br 5069  df-opab 5131  df-xp 5563  df-res 5569

This theorem is referenced by:  dfres2  5911  poirr2  5986  cores  6104  resco  6105  rnco  6107  fnres  6476  fvres  6691  nfunsn  6709  1stconst  7797  2ndconst  7798  fsplit  7814  fsplitOLD  7815  wfrlem5  7961  dprd2da  19166  metustid  23166  dvres  24511  dvres2  24512  ltgov  26385  hlimadd  28972  hhcmpl  28979  hhcms  28982  hlim0  29014  dfpo2  32993  eqfunresadj  33006  dfdm5  33018  dfrn5  33019  fprlem1  33139  frrlem15  33144  txpss3v  33341  brtxp  33343  pprodss4v  33347  brpprod  33348  brimg  33400  brapply  33401  funpartfun  33406  dfrdg4  33414  xrnss3v  35626  funressnfv  43285  funressnvmo  43287  afv2res  43445  setrec2lem2  44804