MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brric2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brric2 18509
Description: The relation "is isomorphic to" for (unital) rings. This theorem corresponds to the definition df-risc 32750 of the ring isomorphism relation in JM's mathbox. (Contributed by AV, 24-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
brric2 (𝑅𝑟 𝑆 ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓

Proof of Theorem brric2
StepHypRef Expression
1 brric 18508 . 2 (𝑅𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
2 n0 3884 . 2 ((𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆))
3 rimrcl 18488 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V))
4 isrim0 18487 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))))
5 eqid 2604 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
6 eqid 2604 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
75, 6isrhm 18485 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
87simplbi 474 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring))
98adantr 479 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring))
104, 9syl6bi 241 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring)))
113, 10mpcom 37 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring))
1211exlimiv 1843 . . 3 (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring))
1312pm4.71ri 662 . 2 (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)))
141, 2, 133bitri 284 1 (𝑅𝑟 𝑆 ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wa 382  wex 1694  wcel 1975  wne 2774  Vcvv 3167  c0 3868   class class class wbr 4572  ccnv 5022  cfv 5785  (class class class)co 6522   MndHom cmhm 17097   GrpHom cghm 17421  mulGrpcmgp 18253  Ringcrg 18311   RingHom crh 18476   RingIso crs 18477  𝑟 cric 18478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-er 7601  df-map 7718  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-nn 10863  df-2 10921  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-sets 15642  df-plusg 15722  df-0g 15866  df-mhm 17099  df-ghm 17422  df-mgp 18254  df-ur 18266  df-ring 18313  df-rnghom 18479  df-rngiso 18480  df-ric 18482
This theorem is referenced by:  ricgic  18510
  Copyright terms: Public domain W3C validator